Номер 4.38, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.38, страница 35.

4.38. Чему равно значение выражения:

1) $ \lg \sin 1^{\circ} \cdot \lg \sin 2^{\circ} \cdot \lg \sin 3^{\circ} \cdot \ldots \cdot \lg \sin 89^{\circ} \cdot \lg \sin 90^{\circ}; $

2) $ \lg \operatorname{tg} 10^{\circ} \cdot \lg \operatorname{tg} 15^{\circ} \cdot \lg \operatorname{tg} 20^{\circ} \cdot \ldots \cdot \lg \operatorname{tg} 75^{\circ} \cdot \lg \operatorname{tg} 80^{\circ}; $

3) $ \lg (\operatorname{tg} 30^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 32^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 34^{\circ} \cdot \ldots \cdot \operatorname{tg} 58^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 60^{\circ}); $

4) $ \lg \operatorname{tg} 1^{\circ} + \lg \operatorname{tg} 2^{\circ} + \lg \operatorname{tg} 3^{\circ} + \ldots + \lg \operatorname{tg} 88^{\circ} + \lg \operatorname{tg} 89^{\circ}? $

1) Данное выражение представляет собой произведение десятичных логарифмов: $lg \sin 1° \cdot lg \sin 2° \cdot lg \sin 3° \cdot \dots \cdot lg \sin 89° \cdot lg \sin 90°$.
Один из множителей в этом произведении — это $lg \sin 90°$.
Поскольку $\sin 90° = 1$, то этот множитель равен $lg 1$.
Значение десятичного логарифма от единицы равно нулю: $lg 1 = 0$.
Так как один из множителей в произведении равен нулю, то и всё произведение равно нулю.
Ответ: 0

2) Это выражение также является произведением: $lg \tg 10° \cdot lg \tg 15° \cdot lg \tg 20° \cdot \dots \cdot lg \tg 75° \cdot lg \tg 80°$.
Последовательность углов в аргументах тангенсов (10°, 15°, 20°, ...) с шагом в 5° включает в себя угол 45°.
Таким образом, в произведении присутствует множитель $lg \tg 45°$.
Мы знаем, что $\tg 45° = 1$.
Следовательно, множитель $lg \tg 45°$ равен $lg 1 = 0$.
Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, то и всё произведение равно нулю.
Ответ: 0

3) В данном выражении $lg (\tg 30° \cdot \tg 32° \cdot \tg 34° \cdot \dots \cdot \tg 58° \cdot \tg 60°)$ мы имеем логарифм от произведения тангенсов. Рассмотрим произведение под знаком логарифма.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\tg \alpha \cdot \tg(90° - \alpha) = 1$.
Сгруппируем множители в пары, у которых сумма углов равна 90°:
$(\tg 30° \cdot \tg 60°)$, $(\tg 32° \cdot \tg 58°)$, и так далее.
Каждая такая пара дает в произведении 1. Например: $\tg 30° \cdot \tg 60° = \tg 30° \cdot \tg(90° - 30°) = 1$.
Аналогично, $\tg 32° \cdot \tg 58° = 1$, и так для всех пар.
Так как все множители разбиваются на пары, произведение которых равно 1, то всё произведение под знаком логарифма равно 1.
Исходное выражение принимает вид $lg 1$, что равно 0.
Ответ: 0

4) Это выражение представляет собой сумму логарифмов: $lg \tg 1° + lg \tg 2° + lg \tg 3° + \dots + lg \tg 88° + lg \tg 89°$.
Используя свойство логарифмов "сумма логарифмов равна логарифму произведения" ($lg a + lg b = lg(a \cdot b)$), преобразуем выражение:
$lg (\tg 1° \cdot \tg 2° \cdot \tg 3° \cdot \dots \cdot \tg 88° \cdot \tg 89°)$.
Теперь вычислим значение произведения в скобках. Применим тождество $\tg \alpha \cdot \tg(90° - \alpha) = 1$.
Сгруппируем множители: $(\tg 1° \cdot \tg 89°)$, $(\tg 2° \cdot \tg 88°)$, ..., $(\tg 44° \cdot \tg 46°)$.
Произведение в каждой такой паре равно 1.
В ряду от 1 до 89 содержится 89 членов (нечетное количество), поэтому один из них, центральный, останется без пары. Это $\tg 45°$.
Таким образом, всё произведение равно произведению единиц от пар и значения $\tg 45°$.
Так как $\tg 45° = 1$, то произведение под знаком логарифма равно 1.
Выражение сводится к $lg 1 = 0$.
Ответ: 0