Номер 4.32, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.32, страница 35.

4.32. Вычислите значение выражения $6^{\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} + \frac{1}{3}\log_6 27} - 12\log_7 \sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}$.

Для вычисления значения выражения разобьем его на две части и найдем значение каждой из них.

Первая часть выражения: $6^{\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} + \frac{1}{3}\log_6 27}$.

Сначала упростим показатель степени: $\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} + \frac{1}{3}\log_6 27$.

Преобразуем первое слагаемое в показателе, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} = 6 \cdot \frac{1}{\log_{\sqrt{2}} 6} = 6 \log_6 \sqrt{2}$.

Далее, применим свойство степени логарифма $c \log_b a = \log_b a^c$:

$6 \log_6 \sqrt{2} = \log_6 (\sqrt{2})^6 = \log_6 (2^{1/2})^6 = \log_6 2^3 = \log_6 8$.

Теперь преобразуем второе слагаемое в показателе, используя то же свойство:

$\frac{1}{3}\log_6 27 = \log_6 (27^{1/3}) = \log_6 \sqrt[3]{27} = \log_6 3$.

Сложим полученные выражения, используя свойство суммы логарифмов $\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$:

$\log_6 8 + \log_6 3 = \log_6 (8 \cdot 3) = \log_6 24$.

Таким образом, показатель степени равен $\log_6 24$. Подставим его обратно в первую часть выражения:

$6^{\log_6 24}$.

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, значение первой части равно:

$6^{\log_6 24} = 24$.

Вторая часть выражения: $12\log_7 \sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}$.

Упростим выражение под знаком логарифма, представив корни в виде степеней:

$\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}} = \sqrt[5]{7^1 \cdot 7^{1/4}} = \sqrt[5]{7^{1+\frac{1}{4}}} = \sqrt[5]{7^{5/4}} = (7^{5/4})^{1/5} = 7^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5}} = 7^{1/4}$.

Подставим упрощенное выражение обратно во вторую часть:

$12\log_7 (7^{1/4})$.

Используя свойство степени логарифма $\log_b a^c = c \log_b a$ и то, что $\log_b b = 1$:

$12 \cdot \frac{1}{4} \log_7 7 = 3 \cdot 1 = 3$.

Итак, значение второй части равно 3.

Теперь найдем значение исходного выражения, вычтя значение второй части из значения первой:

$24 - 3 = 21$.

Ответ: 21