Номер 4.30, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.30, страница 35.

4.30. Упростите выражение:

1) $\log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_a b^3;$

2) $\log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_5 8.$

1) Для упрощения выражения $\log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_a b^3$ воспользуемся следующими свойствами логарифмов:

• Вынесение показателя степени из основания логарифма: $\log_{c^k} x = \frac{1}{k} \log_c x$.
• Вынесение показателя степени из аргумента логарифма: $\log_c x^k = k \log_c x$.
• Формула перехода к новому основанию и ее следствие: $\log_c x \cdot \log_x c = 1$.

Шаг 1: Преобразуем первый множитель, учитывая, что $\sqrt{b} = b^{1/2}$.

$\log_{\sqrt{b}} a = \log_{b^{1/2}} a = \frac{1}{1/2} \log_b a = 2 \log_b a$.

Шаг 2: Преобразуем второй множитель.

$\log_a b^3 = 3 \log_a b$.

Шаг 3: Перемножим полученные выражения.

$(2 \log_b a) \cdot (3 \log_a b) = 6 \cdot (\log_b a \cdot \log_a b)$.

Шаг 4: Применим свойство $\log_b a \cdot \log_a b = 1$.

$6 \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6

2) Для упрощения выражения $\log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_5 8$ применим те же свойства логарифмов.

Шаг 1: Преобразуем первый множитель. Основание логарифма $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$.

$\log_{\sqrt[3]{2}} 5 = \log_{2^{1/3}} 5 = \frac{1}{1/3} \log_2 5 = 3 \log_2 5$.

Шаг 2: Преобразуем второй множитель. Аргумент логарифма $8 = 2^3$.

$\log_5 8 = \log_5 2^3 = 3 \log_5 2$.

Шаг 3: Перемножим результаты преобразований.

$(3 \log_2 5) \cdot (3 \log_5 2) = 9 \cdot (\log_2 5 \cdot \log_5 2)$.

Шаг 4: Используя свойство $\log_c x \cdot \log_x c = 1$, получаем:

$9 \cdot 1 = 9$.

Ответ: 9