Номер 4.29, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.29, страница 35.

4.29. Вычислите значение выражения:

1) $\log_{7}\sin\frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin\frac{\pi}{5}}49$;

2) $\log_{3}\cos^2\frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}}9$.

1) Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойством логарифмов, известным как формула замены основания или цепное правило: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$. В данном выражении мы можем принять $a = 7$, $b = \sin\frac{\pi}{5}$ и $c = 49$.

Применяя эту формулу, мы получаем:

$\log_7 \sin\frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin\frac{\pi}{5}} 49 = \log_7 49$

Теперь вычислим значение полученного логарифма. Так как $49 = 7^2$, то:

$\log_7 49 = \log_7 7^2 = 2$

Ответ: 2

2) Для решения этого примера сначала преобразуем первый множитель, используя свойство логарифма степени: $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$.

$\log_3 \cos^2\frac{\pi}{9} = 2 \cdot \log_3 \cos\frac{\pi}{9}$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное:

$2 \log_3 \cos\frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}} 9$

Далее, как и в первом задании, воспользуемся формулой $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$. В нашем случае $a=3$, $b=\cos\frac{\pi}{9}$ и $c=9$.

$2 \cdot (\log_3 \cos\frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}} 9) = 2 \cdot \log_3 9$

Остается вычислить конечное значение. Так как $9 = 3^2$, то:

$2 \cdot \log_3 9 = 2 \cdot \log_3 3^2 = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4