Номер 4.33, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.33, страница 35.

4.33. Упростите выражение

$\frac{1 - \log_a^3 b}{(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}}$

Для упрощения данного выражения преобразуем его числитель и знаменатель по отдельности, используя свойства логарифмов и формулы сокращенного умножения. Область допустимых значений: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $b \neq 1$, $a \neq b$.

1. Преобразуем числитель $1 - \log_a^3 b$. Это разность кубов, которую можно разложить на множители по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

$1 - \log_a^3 b = (1 - \log_a b)(1^2 + 1 \cdot \log_a b + (\log_a b)^2) = (1 - \log_a b)(1 + \log_a b + \log_a^2 b)$.

2. Преобразуем знаменатель $(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$:

$\log_a b + \log_b a + 1 = \log_a b + \frac{1}{\log_a b} + 1$.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$\frac{(\log_a b)^2}{\log_a b} + \frac{1}{\log_a b} + \frac{\log_a b}{\log_a b} = \frac{\log_a^2 b + \log_a b + 1}{\log_a b}$.

Теперь преобразуем второй множитель в знаменателе, используя свойство логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c x - \log_c y$:

$\log_a \frac{a}{b} = \log_a a - \log_a b = 1 - \log_a b$.

3. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{(1 - \log_a b)(1 + \log_a b + \log_a^2 b)}{(\frac{\log_a^2 b + \log_a b + 1}{\log_a b}) \cdot (1 - \log_a b)}$.

4. Сократим общие множители $(1 - \log_a b)$ и $(1 + \log_a b + \log_a^2 b)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $a \neq b$, следовательно $1 - \log_a b \neq 0$, а выражение $1 + \log_a b + \log_a^2 b$ всегда положительно):

$\frac{\cancel{(1 - \log_a b)}\cancel{(1 + \log_a b + \log_a^2 b)}}{\frac{\cancel{\log_a^2 b + \log_a b + 1}}{\log_a b} \cdot \cancel{(1 - \log_a b)}} = \frac{1}{\frac{1}{\log_a b}}$.

5. Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{\frac{1}{\log_a b}} = 1 \cdot \frac{\log_a b}{1} = \log_a b$.

Ответ: $\log_a b$.