Номер 4.39, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.39, страница 35.

4.39. Упростите выражение $\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \dots \cdot \log_{10} 9$.

4.39. Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Мы можем выбрать любое удобное основание $c > 0, c \neq 1$. Пусть это будет произвольное основание $c$.

Исходное выражение представляет собой произведение логарифмов:

$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \ldots \cdot \log_{10} 9$

Применим формулу перехода к новому основанию $c$ для каждого множителя в этом произведении:

$\frac{\log_c 2}{\log_c 3} \cdot \frac{\log_c 3}{\log_c 4} \cdot \frac{\log_c 4}{\log_c 5} \cdot \ldots \cdot \frac{\log_c 8}{\log_c 9} \cdot \frac{\log_c 9}{\log_c 10}$

В получившемся выражении мы видим, что знаменатель каждой дроби (кроме последней) совпадает с числителем следующей дроби. Таким образом, мы можем сократить эти члены. Этот процесс называется телескопическим сокращением.

$\frac{\log_c 2}{\cancel{\log_c 3}} \cdot \frac{\cancel{\log_c 3}}{\cancel{\log_c 4}} \cdot \frac{\cancel{\log_c 4}}{\cancel{\log_c 5}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{\log_c 8}}{\cancel{\log_c 9}} \cdot \frac{\cancel{\log_c 9}}{\log_c 10}$

После выполнения всех сокращений в выражении остаются только числитель от первого множителя ($\log_c 2$) и знаменатель от последнего множителя ($\log_c 10$):

$\frac{\log_c 2}{\log_c 10}$

Теперь мы можем применить формулу перехода к новому основанию в обратном порядке ($\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$), чтобы получить конечный результат:

$\frac{\log_c 2}{\log_c 10} = \log_{10} 2$

Ответ: $\log_{10} 2$