Номер 4.40, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.40, страница 35.

4.40. Вычислите значение выражения $\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32$.

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифма: $log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, где $c$ – любое положительное число, не равное 1. Выберем в качестве нового основания любое удобное число, например, $e$ (натуральный логарифм) или 10 (десятичный логарифм). Пусть это будет основание $c$.

Исходное выражение: $\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32$.

Применим формулу перехода к новому основанию $c$ для каждого множителя в произведении:

$\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32 = \frac{\log_c 5}{\log_c 4} \cdot \frac{\log_c 6}{\log_c 5} \cdot \frac{\log_c 7}{\log_c 6} \cdot \frac{\log_c 32}{\log_c 7}$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе (это свойство иногда называют "цепным правилом" для логарифмов):

$\frac{\cancel{\log_c 5}}{\log_c 4} \cdot \frac{\cancel{\log_c 6}}{\cancel{\log_c 5}} \cdot \frac{\cancel{\log_c 7}}{\cancel{\log_c 6}} \cdot \frac{\log_c 32}{\cancel{\log_c 7}}$

После сокращения выражение упрощается до:

$\frac{\log_c 32}{\log_c 4}$

Используя формулу перехода к новому основанию в обратном порядке ($\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$), получаем:

$\frac{\log_c 32}{\log_c 4} = \log_4 32$

Теперь необходимо вычислить значение $\log_4 32$. Обозначим это значение через $x$, то есть $\log_4 32 = x$. По определению логарифма это равносильно уравнению $4^x = 32$.

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что 4 и 32 являются степенями числа 2:

$4 = 2^2$

$32 = 2^5$

Подставим эти значения в уравнение:

$(2^2)^x = 2^5$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{2x} = 2^5$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x = 5$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, значение исходного выражения равно 2.5.

Ответ: 2.5