Номер 4.41, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.41, страница 36.

4.41. Постройте график функции:

1) $y = \lg \operatorname{tg} x + \lg \operatorname{ctg} x;$

2) $y = \log_x 1;$

3) $y = 3^{\log_3 (x + 3)};$

4) $y = 5^{-\log_5 x};$

5) $y = 10^{\frac{1}{\log_x 10}};$

6) $y = 2^{\log_2 x^2};$

7) $y = \frac{\log_{\frac{1}{2}} x}{\log_{\frac{1}{2}} x};$

8) $y = \log_{\frac{1}{2}} \log_{3 - x} (3 - x)^4;$

9) $y = 2^{\log_4 x^2}.$

1) $y = \lg \tg x + \lg \ctg x$

Для построения графика сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\tg x > 0$ и $\ctg x > 0$.
Это условие выполняется, когда $x$ находится в первой или третьей координатных четвертях.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$y = \lg(\tg x \cdot \ctg x)$
Так как $\tg x \cdot \ctg x = 1$ для всех $x$ из ОДЗ, получаем:
$y = \lg 1 = 0$.

Графиком функции является прямая $y=0$, но существующая только на интервалах, входящих в ОДЗ.

Ответ: График функции — это совокупность интервалов $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, лежащих на оси Ox.

2) $y = \log_x 1$

Найдем ОДЗ. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице:
$x > 0$ и $x \neq 1$.

По определению логарифма, логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю.
$y = 0$.

Следовательно, график функции — это прямая $y=0$ при $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: График функции — это луч $(0, +\infty)$ на оси Ox с выколотой точкой $(1, 0)$.

3) $y = 3^{\log_3(x+3)}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x + 3 > 0 \implies x > -3$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим функцию:
$y = x + 3$.

Графиком является прямая $y = x+3$, но только для $x > -3$.

Ответ: График функции — это луч, выходящий из точки $(-3, 0)$ (сама точка выколота) и проходящий через точку $(0, 3)$.

4) $y = 5^{-\log_5 x}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма $x$ должен быть положительным:
$x > 0$.

Упростим выражение, используя свойство степени и основное логарифмическое тождество:
$y = 5^{\log_5(x^{-1})} = 5^{\log_5(\frac{1}{x})} = \frac{1}{x}$.

Графиком является функция $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$.

Ответ: График функции — это ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x}$, расположенная в первой координатной четверти.

5) $y = 10^{\frac{1}{\log_x 10}}$

Найдем ОДЗ. Для знаменателя $\log_x 10$:
1. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице: $x > 0, x \neq 1$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_x 10 \neq 0$, что всегда верно, так как аргумент не равен 1.
Итоговая ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Упростим выражение, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{1}{\log_x 10} = \log_{10} x = \lg x$.
Тогда $y = 10^{\lg x}$.
По основному логарифмическому тождеству $y = x$.

Графиком является прямая $y=x$ с учетом ОДЗ.

Ответ: График функции — это луч $y=x$ для $x>0$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

6) $y = 2^{\log_2 x^2}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма $x^2$ должен быть строго положительным:
$x^2 > 0 \implies x \neq 0$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$y = x^2$.

Графиком является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в начале координат, так как $x \neq 0$.

Ответ: График функции — парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

7) $y = \frac{\log_{\frac{1}{2}} x}{\log_{\frac{1}{2}} x}$

Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма $x$ должен быть положительным: $x > 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_{\frac{1}{2}} x \neq 0$, что означает $x \neq (\frac{1}{2})^0$, то есть $x \neq 1$.
Итоговая ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

На всей области определения выражение равно 1.
$y = 1$.

Графиком является прямая $y=1$ с учетом ОДЗ.

Ответ: График функции — это луч $y=1$ для $x>0$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

8) $y = \log_{\frac{1}{2}} \log_{3-x} (3-x)^4$

Найдем ОДЗ. Рассматриваем логарифмы "изнутри":
1. Для внутреннего логарифма $\log_{3-x} (3-x)^4$: основание $3-x$ должно быть положительным и не равным 1.
$3-x > 0 \implies x < 3$.
$3-x \neq 1 \implies x \neq 2$.
2. Для внешнего логарифма $\log_{\frac{1}{2}}(\dots)$: его аргумент $\log_{3-x} (3-x)^4$ должен быть положительным.
Упростим аргумент: $\log_{3-x} (3-x)^4 = 4$.
Так как $4 > 0$, это условие выполняется всегда.
Итоговая ОДЗ: $x < 3$ и $x \neq 2$.

Теперь упростим саму функцию:
$y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} \log_2 2 = -2$.

Графиком является прямая $y=-2$ с учетом ОДЗ.

Ответ: График функции — это прямая $y=-2$ при $x < 3$ с выколотой точкой $(2, -2)$.

9) $y = 2^{\log_4 x^2}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма $x^2$ должен быть строго положительным:
$x^2 > 0 \implies x \neq 0$.

Упростим выражение. Воспользуемся свойством $a^{\log_{a^k} b} = b^{\frac{1}{k}}$.
$y = 2^{\log_{2^2} x^2} = (x^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x^2} = |x|$.

Другой способ упрощения:
$y = 2^{\frac{\log_2 x^2}{\log_2 4}} = 2^{\frac{2\log_2|x|}{2}} = 2^{\log_2|x|} = |x|$.

Графиком является функция $y=|x|$ с выколотой точкой в начале координат, так как $x \neq 0$.

Ответ: График функции — это график модуля $y=|x|$ с выколотой точкой $(0, 0)$.