Номер 4.35, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.35, страница 35.

4.35. Докажите, что значение выражения $log_{7+4\sqrt{3}}(7-4\sqrt{3})$ является целым числом.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $\log_{7+4\sqrt{3}}(7 - 4\sqrt{3})$ является целым числом, мы вычислим это значение.

Обозначим основание логарифма как $a = 7+4\sqrt{3}$ и аргумент логарифма как $b = 7-4\sqrt{3}$.

Заметим, что основание $a$ и аргумент $b$ являются сопряженными иррациональными числами. Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$a \cdot b = (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Из полученного равенства $a \cdot b = 1$ мы можем выразить $b$ через $a$:

$b = \frac{1}{a} = a^{-1}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$7-4\sqrt{3} = (7+4\sqrt{3})^{-1}$.

Теперь мы можем переписать исходный логарифм:

$\log_{7+4\sqrt{3}}(7 - 4\sqrt{3}) = \log_{7+4\sqrt{3}}\left((7+4\sqrt{3})^{-1}\right)$.

Используя свойство логарифма $\log_c(c^k) = k$, получаем:

$\log_{7+4\sqrt{3}}\left((7+4\sqrt{3})^{-1}\right) = -1$.

Значение данного выражения равно $-1$. Так как $-1$ является целым числом, утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения равно $-1$, что является целым числом.