Страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.28. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3 \lg 4 + \lg 0.5}{\lg 9 - \lg 18}$;

2) $\frac{\lg 625 - 8 \lg 2}{\frac{1}{2} \lg 256 - 2 \lg 5}$.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{3\lg 4 + \lg 0.5}{\lg 9 - \lg 18}$ воспользуемся следующими свойствами десятичного логарифма ($\lg x = \log_{10} x$):

• Свойство степени: $n \cdot \lg b = \lg(b^n)$
• Сумма логарифмов: $\lg b + \lg c = \lg(b \cdot c)$
• Разность логарифмов: $\lg b - \lg c = \lg(\frac{b}{c})$

Сначала преобразуем числитель дроби, используя свойство степени и свойство суммы логарифмов:

$3\lg 4 + \lg 0.5 = \lg(4^3) + \lg 0.5 = \lg 64 + \lg 0.5 = \lg(64 \cdot 0.5) = \lg 32$

Далее преобразуем знаменатель, используя свойство разности логарифмов:

$\lg 9 - \lg 18 = \lg(\frac{9}{18}) = \lg(\frac{1}{2}) = \lg 0.5$

Теперь подставим полученные значения обратно в дробь:

$\frac{\lg 32}{\lg 0.5}$

Чтобы упростить это выражение, представим числа 32 и 0.5 в виде степеней одного и того же основания, например, 2. Мы знаем, что $32 = 2^5$ и $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$\frac{\lg(2^5)}{\lg(2^{-1})}$

Применим свойство степени логарифма еще раз:

$\frac{5 \cdot \lg 2}{-1 \cdot \lg 2}$

Сокращаем общий множитель $\lg 2$:

$\frac{5}{-1} = -5$

Ответ: -5

2) Для нахождения значения выражения $\frac{\lg 625 - 8\lg 2}{\frac{1}{2}\lg 256 - 2\lg 5}$ будем использовать те же свойства логарифмов. Целесообразно привести все логарифмы к логарифмам от простых чисел, в данном случае это 2 и 5.

Преобразуем числитель. Учтем, что $625 = 5^4$.

$\lg 625 - 8\lg 2 = \lg(5^4) - 8\lg 2 = 4\lg 5 - 8\lg 2$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4(\lg 5 - 2\lg 2)$

Теперь преобразуем знаменатель. Учтем, что $256 = 2^8$.

$\frac{1}{2}\lg 256 - 2\lg 5 = \frac{1}{2}\lg(2^8) - 2\lg 5 = \frac{1}{2} \cdot 8\lg 2 - 2\lg 5 = 4\lg 2 - 2\lg 5$

Вынесем общий множитель -2 за скобки, чтобы получить выражение, аналогичное тому, что в числителе:

$-2(-2\lg 2 + \lg 5) = -2(\lg 5 - 2\lg 2)$

Теперь подставим преобразованные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:

$\frac{4(\lg 5 - 2\lg 2)}{-2(\lg 5 - 2\lg 2)}$

Сократим общий множитель $(\lg 5 - 2\lg 2)$, так как он не равен нулю ($\lg 5 - 2\lg 2 = \lg 5 - \lg 4 = \lg(5/4) \neq 0$):

$\frac{4}{-2} = -2$

Ответ: -2

4.29. Вычислите значение выражения:

1) $\log_{7}\sin\frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin\frac{\pi}{5}}49$;

2) $\log_{3}\cos^2\frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}}9$.

1) Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойством логарифмов, известным как формула замены основания или цепное правило: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$. В данном выражении мы можем принять $a = 7$, $b = \sin\frac{\pi}{5}$ и $c = 49$.

Применяя эту формулу, мы получаем:

$\log_7 \sin\frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin\frac{\pi}{5}} 49 = \log_7 49$

Теперь вычислим значение полученного логарифма. Так как $49 = 7^2$, то:

$\log_7 49 = \log_7 7^2 = 2$

Ответ: 2

2) Для решения этого примера сначала преобразуем первый множитель, используя свойство логарифма степени: $\log_a (b^p) = p \cdot \log_a b$.

$\log_3 \cos^2\frac{\pi}{9} = 2 \cdot \log_3 \cos\frac{\pi}{9}$

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное:

$2 \log_3 \cos\frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}} 9$

Далее, как и в первом задании, воспользуемся формулой $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$. В нашем случае $a=3$, $b=\cos\frac{\pi}{9}$ и $c=9$.

$2 \cdot (\log_3 \cos\frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos\frac{\pi}{9}} 9) = 2 \cdot \log_3 9$

Остается вычислить конечное значение. Так как $9 = 3^2$, то:

$2 \cdot \log_3 9 = 2 \cdot \log_3 3^2 = 2 \cdot 2 = 4$

Ответ: 4

4.30. Упростите выражение:

1) $\log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_a b^3;$

2) $\log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_5 8.$

1) Для упрощения выражения $\log_{\sqrt{b}} a \cdot \log_a b^3$ воспользуемся следующими свойствами логарифмов:

• Вынесение показателя степени из основания логарифма: $\log_{c^k} x = \frac{1}{k} \log_c x$.
• Вынесение показателя степени из аргумента логарифма: $\log_c x^k = k \log_c x$.
• Формула перехода к новому основанию и ее следствие: $\log_c x \cdot \log_x c = 1$.

Шаг 1: Преобразуем первый множитель, учитывая, что $\sqrt{b} = b^{1/2}$.

$\log_{\sqrt{b}} a = \log_{b^{1/2}} a = \frac{1}{1/2} \log_b a = 2 \log_b a$.

Шаг 2: Преобразуем второй множитель.

$\log_a b^3 = 3 \log_a b$.

Шаг 3: Перемножим полученные выражения.

$(2 \log_b a) \cdot (3 \log_a b) = 6 \cdot (\log_b a \cdot \log_a b)$.

Шаг 4: Применим свойство $\log_b a \cdot \log_a b = 1$.

$6 \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6

2) Для упрощения выражения $\log_{\sqrt[3]{2}} 5 \cdot \log_5 8$ применим те же свойства логарифмов.

Шаг 1: Преобразуем первый множитель. Основание логарифма $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$.

$\log_{\sqrt[3]{2}} 5 = \log_{2^{1/3}} 5 = \frac{1}{1/3} \log_2 5 = 3 \log_2 5$.

Шаг 2: Преобразуем второй множитель. Аргумент логарифма $8 = 2^3$.

$\log_5 8 = \log_5 2^3 = 3 \log_5 2$.

Шаг 3: Перемножим результаты преобразований.

$(3 \log_2 5) \cdot (3 \log_5 2) = 9 \cdot (\log_2 5 \cdot \log_5 2)$.

Шаг 4: Используя свойство $\log_c x \cdot \log_x c = 1$, получаем:

$9 \cdot 1 = 9$.

Ответ: 9

4.31. Вычислите значение выражения $5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} + \frac{1}{2}\log_5 4} + 36\log_2 \sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$.

Для вычисления значения выражения, разобьем его на два слагаемых и упростим каждое из них по отдельности.

1. Упрощение первого слагаемого: $5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} + \frac{1}{2}\log_5 4}$

Выражение в степени является суммой двух членов. Преобразуем каждый из них.

Сначала преобразуем первый член показателя степени $\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5}$, используя формулу замены основания логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} = 4 \cdot \log_5 \sqrt{3}$

Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$4 \log_5 \sqrt{3} = \log_5 ((\sqrt{3})^4) = \log_5 (3^{1/2})^4 = \log_5 3^2 = \log_5 9$

Теперь преобразуем второй член показателя степени $\frac{1}{2}\log_5 4$, используя то же свойство:

$\frac{1}{2}\log_5 4 = \log_5 (4^{1/2}) = \log_5 \sqrt{4} = \log_5 2$

Теперь сложим полученные выражения, чтобы найти полный показатель степени, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_5 9 + \log_5 2 = \log_5(9 \cdot 2) = \log_5 18$

Подставим полученный показатель степени в первое слагаемое и используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$5^{\log_5 18} = 18$

Таким образом, первое слагаемое равно 18.

2. Упрощение второго слагаемого: $36^{\log_2 \sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}}$

Сначала упростим показатель степени $\log_2 \sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$, начав с выражения под знаком логарифма.

Представим вложенные корни в виде степеней и упростим:

$\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} = (2^1 \cdot 2^{1/3})^{1/4}$

Используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(2^{1 + 1/3})^{1/4} = (2^{4/3})^{1/4}$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}} = 2^{1/3}$

Теперь, когда аргумент логарифма упрощен, мы можем вычислить значение показателя степени:

$\log_2(2^{1/3}) = \frac{1}{3}$

Подставим это значение в наше второе слагаемое:

$36^{1/3} = \sqrt[3]{36}$

Таким образом, второе слагаемое равно $\sqrt[3]{36}$.

3. Вычисление итогового значения

Сложим значения первого и второго слагаемых, чтобы получить окончательный ответ:

$18 + \sqrt[3]{36}$

Ответ: $18 + \sqrt[3]{36}$

4.32. Вычислите значение выражения $6^{\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} + \frac{1}{3}\log_6 27} - 12\log_7 \sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}$.

Для вычисления значения выражения разобьем его на две части и найдем значение каждой из них.

Первая часть выражения: $6^{\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} + \frac{1}{3}\log_6 27}$.

Сначала упростим показатель степени: $\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} + \frac{1}{3}\log_6 27$.

Преобразуем первое слагаемое в показателе, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{6}{\log_{\sqrt{2}} 6} = 6 \cdot \frac{1}{\log_{\sqrt{2}} 6} = 6 \log_6 \sqrt{2}$.

Далее, применим свойство степени логарифма $c \log_b a = \log_b a^c$:

$6 \log_6 \sqrt{2} = \log_6 (\sqrt{2})^6 = \log_6 (2^{1/2})^6 = \log_6 2^3 = \log_6 8$.

Теперь преобразуем второе слагаемое в показателе, используя то же свойство:

$\frac{1}{3}\log_6 27 = \log_6 (27^{1/3}) = \log_6 \sqrt[3]{27} = \log_6 3$.

Сложим полученные выражения, используя свойство суммы логарифмов $\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$:

$\log_6 8 + \log_6 3 = \log_6 (8 \cdot 3) = \log_6 24$.

Таким образом, показатель степени равен $\log_6 24$. Подставим его обратно в первую часть выражения:

$6^{\log_6 24}$.

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, значение первой части равно:

$6^{\log_6 24} = 24$.

Вторая часть выражения: $12\log_7 \sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}}$.

Упростим выражение под знаком логарифма, представив корни в виде степеней:

$\sqrt[5]{7\sqrt[4]{7}} = \sqrt[5]{7^1 \cdot 7^{1/4}} = \sqrt[5]{7^{1+\frac{1}{4}}} = \sqrt[5]{7^{5/4}} = (7^{5/4})^{1/5} = 7^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{5}} = 7^{1/4}$.

Подставим упрощенное выражение обратно во вторую часть:

$12\log_7 (7^{1/4})$.

Используя свойство степени логарифма $\log_b a^c = c \log_b a$ и то, что $\log_b b = 1$:

$12 \cdot \frac{1}{4} \log_7 7 = 3 \cdot 1 = 3$.

Итак, значение второй части равно 3.

Теперь найдем значение исходного выражения, вычтя значение второй части из значения первой:

$24 - 3 = 21$.

Ответ: 21

4.33. Упростите выражение

$\frac{1 - \log_a^3 b}{(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}}$

Для упрощения данного выражения преобразуем его числитель и знаменатель по отдельности, используя свойства логарифмов и формулы сокращенного умножения. Область допустимых значений: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $b \neq 1$, $a \neq b$.

1. Преобразуем числитель $1 - \log_a^3 b$. Это разность кубов, которую можно разложить на множители по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

$1 - \log_a^3 b = (1 - \log_a b)(1^2 + 1 \cdot \log_a b + (\log_a b)^2) = (1 - \log_a b)(1 + \log_a b + \log_a^2 b)$.

2. Преобразуем знаменатель $(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$:

$\log_a b + \log_b a + 1 = \log_a b + \frac{1}{\log_a b} + 1$.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$\frac{(\log_a b)^2}{\log_a b} + \frac{1}{\log_a b} + \frac{\log_a b}{\log_a b} = \frac{\log_a^2 b + \log_a b + 1}{\log_a b}$.

Теперь преобразуем второй множитель в знаменателе, используя свойство логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c x - \log_c y$:

$\log_a \frac{a}{b} = \log_a a - \log_a b = 1 - \log_a b$.

3. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{(1 - \log_a b)(1 + \log_a b + \log_a^2 b)}{(\frac{\log_a^2 b + \log_a b + 1}{\log_a b}) \cdot (1 - \log_a b)}$.

4. Сократим общие множители $(1 - \log_a b)$ и $(1 + \log_a b + \log_a^2 b)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $a \neq b$, следовательно $1 - \log_a b \neq 0$, а выражение $1 + \log_a b + \log_a^2 b$ всегда положительно):

$\frac{\cancel{(1 - \log_a b)}\cancel{(1 + \log_a b + \log_a^2 b)}}{\frac{\cancel{\log_a^2 b + \log_a b + 1}}{\log_a b} \cdot \cancel{(1 - \log_a b)}} = \frac{1}{\frac{1}{\log_a b}}$.

5. Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{\frac{1}{\log_a b}} = 1 \cdot \frac{\log_a b}{1} = \log_a b$.

Ответ: $\log_a b$.

4.34. Упростите выражение $\frac{\log_a ab(\log_b a - 1 + \log_a b)}{1 + \log_a^3 b}$.

4.34.

Для упрощения данного выражения выполним ряд преобразований, используя свойства логарифмов. Целесообразно привести все логарифмы к одному основанию, например, к основанию $a$.

Нам понадобятся следующие свойства логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$
• Формула перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$
• Формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Преобразование числителя: $\log_a{ab}(\log_b{a} - 1 + \log_a{b})$.

Сначала упростим первый множитель, используя свойство логарифма произведения:

$\log_a{ab} = \log_a a + \log_a b = 1 + \log_a b$.

Теперь преобразуем второй множитель, приведя все логарифмы к основанию $a$:

$\log_b a - 1 + \log_a b = \frac{1}{\log_a b} - 1 + \log_a b$.

Приведем это выражение к общему знаменателю $\log_a b$:

$\frac{1}{\log_a b} - \frac{\log_a b}{\log_a b} + \frac{(\log_a b)^2}{\log_a b} = \frac{1 - \log_a b + \log_a^2 b}{\log_a b}$.

Таким образом, весь числитель равен произведению преобразованных частей:

$(1 + \log_a b) \cdot \frac{1 - \log_a b + \log_a^2 b}{\log_a b}$.

2. Преобразование знаменателя: $1 + \log_a^3 b$.

Знаменатель представляет собой сумму кубов: $1^3 + (\log_a b)^3$. Применим соответствующую формулу:

$1 + \log_a^3 b = (1 + \log_a b)(1^2 - 1 \cdot \log_a b + (\log_a b)^2) = (1 + \log_a b)(1 - \log_a b + \log_a^2 b)$.

3. Упрощение исходного выражения.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$$ \frac{(1 + \log_a b) \cdot \frac{1 - \log_a b + \log_a^2 b}{\log_a b}}{(1 + \log_a b)(1 - \log_a b + \log_a^2 b)} $$

Перепишем выражение, чтобы было удобнее производить сокращение:

$$ \frac{(1 + \log_a b)(1 - \log_a b + \log_a^2 b)}{\log_a b \cdot (1 + \log_a b)(1 - \log_a b + \log_a^2 b)} $$

Сократим общие множители $(1 + \log_a b)$ и $(1 - \log_a b + \log_a^2 b)$ в числителе и знаменателе. Это действие корректно, так как из области определения исходного выражения следует, что знаменатель $1 + \log_a^3 b \neq 0$, а значит, и каждый из этих множителей не равен нулю.

После сокращения получаем:

$$ \frac{1}{\log_a b} $$

Используя свойство $\frac{1}{\log_c d} = \log_d c$, получаем окончательный результат.

$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$.

Ответ: $\log_b a$.

4.35. Докажите, что значение выражения $log_{7+4\sqrt{3}}(7-4\sqrt{3})$ является целым числом.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $\log_{7+4\sqrt{3}}(7 - 4\sqrt{3})$ является целым числом, мы вычислим это значение.

Обозначим основание логарифма как $a = 7+4\sqrt{3}$ и аргумент логарифма как $b = 7-4\sqrt{3}$.

Заметим, что основание $a$ и аргумент $b$ являются сопряженными иррациональными числами. Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$a \cdot b = (7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Из полученного равенства $a \cdot b = 1$ мы можем выразить $b$ через $a$:

$b = \frac{1}{a} = a^{-1}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$7-4\sqrt{3} = (7+4\sqrt{3})^{-1}$.

Теперь мы можем переписать исходный логарифм:

$\log_{7+4\sqrt{3}}(7 - 4\sqrt{3}) = \log_{7+4\sqrt{3}}\left((7+4\sqrt{3})^{-1}\right)$.

Используя свойство логарифма $\log_c(c^k) = k$, получаем:

$\log_{7+4\sqrt{3}}\left((7+4\sqrt{3})^{-1}\right) = -1$.

Значение данного выражения равно $-1$. Так как $-1$ является целым числом, утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения равно $-1$, что является целым числом.

4.36. Докажите, что значение выражения $ \log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5}) $ является целым числом.

Чтобы доказать, что значение выражения $\log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5})$ является целым числом, необходимо найти это значение. Обратим внимание на основание логарифма $9-4\sqrt{5}$ и его аргумент $9+4\sqrt{5}$. Эти выражения являются сопряженными. Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:$(9-4\sqrt{5})(9+4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 16 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.

Из полученного равенства следует, что аргумент логарифма можно выразить через его основание. Так как их произведение равно 1, они являются взаимно обратными числами:$9+4\sqrt{5} = \frac{1}{9-4\sqrt{5}} = (9-4\sqrt{5})^{-1}$.

Теперь подставим это выражение в исходный логарифм и воспользуемся свойством логарифма $\log_a(a^p) = p$:$\log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5}) = \log_{9-4\sqrt{5}}\left((9-4\sqrt{5})^{-1}\right) = -1$.

Значение выражения равно -1. Поскольку -1 является целым числом, утверждение доказано.

Ответ: -1.

4.37. При каких значениях $x$ верно равенство:

1) $ \log_2 (1 - x^2) = \log_2 (1 - x) + \log_2 (1 + x); $

2) $ \lg \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \lg (x^2 - 2x + 1) - \lg (x^2 + 1); $

3) $ \log_5 (x^2 - 4x + 4) = 2\log_5 (2 - x); $

4) $ \log_5 (x^2 - 4x + 4) = 2\log_5 |x - 2|? $

1) Данное равенство $\log_2(1 - x^2) = \log_2(1 - x) + \log_2(1 + x)$ основано на свойстве логарифма суммы: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$. Применяя это свойство к правой части, получаем:

$\log_2(1 - x) + \log_2(1 + x) = \log_2((1 - x)(1 + x)) = \log_2(1 - x^2)$.

Таким образом, равенство является тождеством, и оно будет верным для всех значений $x$, при которых все логарифмические выражения в исходном уравнении имеют смысл. Это область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля.

Составим систему неравенств для нахождения ОДЗ: $$ \begin{cases} 1 - x^2 > 0 \\ 1 - x > 0 \\ 1 + x > 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство:

1. $1 - x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$.

2. $1 - x > 0 \implies x < 1$.

3. $1 + x > 0 \implies x > -1$.

Пересечением всех трех условий является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

2) Данное равенство $\lg\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \lg(x^2 - 2x + 1) - \lg(x^2 + 1)$ основано на свойстве логарифма частного: $\log_a(b/c) = \log_a(b) - \log_a(c)$. Равенство является тождеством и будет верным для всех $x$, при которых все логарифмические выражения определены.

Найдем ОДЗ, составив систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} > 0 \\ x^2 - 2x + 1 > 0 \\ x^2 + 1 > 0 \end{cases} $$

Рассмотрим каждое неравенство:

1. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$.

2. Выражение $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом: $(x - 1)^2$. Неравенство $x^2 - 2x + 1 > 0$ принимает вид $(x - 1)^2 > 0$. Квадрат любого числа, кроме нуля, положителен. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 1$.

3. Неравенство $\frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1} > 0$ эквивалентно неравенству $(x - 1)^2 > 0$, так как знаменатель всегда положителен. Его решение также $x \ne 1$.

Таким образом, ОДЗ определяется условием $x \ne 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

3) Рассмотрим равенство $\log_5(x^2 - 4x + 4) = 2\log_5(2 - x)$.

Свойство степени логарифма $n\log_a(b) = \log_a(b^n)$ справедливо только при $b > 0$. Левая часть уравнения $\log_5(x^2 - 4x + 4)$ может быть записана как $\log_5((x - 2)^2)$ или $\log_5((2 - x)^2)$. Правая часть может быть записана как $\log_5((2 - x)^2)$.

Равенство является тождеством, если все входящие в него выражения определены. Найдем ОДЗ исходного уравнения: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 > 0 \\ 2 - x > 0 \end{cases} $$

Решим систему:

1. $x^2 - 4x + 4 > 0 \implies (x - 2)^2 > 0$. Это верно для всех $x$, кроме $x = 2$.

2. $2 - x > 0 \implies x < 2$.

Объединяя условия $x \ne 2$ и $x < 2$, получаем, что равенство верно при $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

4) Рассмотрим равенство $\log_5(x^2 - 4x + 4) = 2\log_5|x - 2|$.

Преобразуем обе части уравнения, используя свойства логарифмов.

Левая часть: $\log_5(x^2 - 4x + 4) = \log_5((x - 2)^2)$.

Правая часть: $2\log_5|x - 2| = \log_5(|x - 2|^2)$. Так как $|a|^2 = a^2$, то $|x - 2|^2 = (x - 2)^2$. Таким образом, правая часть равна $\log_5((x - 2)^2)$.

Мы получили тождество $\log_5((x - 2)^2) = \log_5((x - 2)^2)$. Оно будет верным для всех $x$ из области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 > 0 \\ |x - 2| > 0 \end{cases} $$

Решим систему:

1. $x^2 - 4x + 4 > 0 \implies (x - 2)^2 > 0$. Это верно для всех $x$, кроме $x = 2$.

2. $|x - 2| > 0$. Модуль числа больше нуля для любого числа, кроме нуля. Значит, $x - 2 \ne 0 \implies x \ne 2$.

Оба условия совпадают и требуют, чтобы $x \ne 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

4.38. Чему равно значение выражения:

1) $ \lg \sin 1^{\circ} \cdot \lg \sin 2^{\circ} \cdot \lg \sin 3^{\circ} \cdot \ldots \cdot \lg \sin 89^{\circ} \cdot \lg \sin 90^{\circ}; $

2) $ \lg \operatorname{tg} 10^{\circ} \cdot \lg \operatorname{tg} 15^{\circ} \cdot \lg \operatorname{tg} 20^{\circ} \cdot \ldots \cdot \lg \operatorname{tg} 75^{\circ} \cdot \lg \operatorname{tg} 80^{\circ}; $

3) $ \lg (\operatorname{tg} 30^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 32^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 34^{\circ} \cdot \ldots \cdot \operatorname{tg} 58^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 60^{\circ}); $

4) $ \lg \operatorname{tg} 1^{\circ} + \lg \operatorname{tg} 2^{\circ} + \lg \operatorname{tg} 3^{\circ} + \ldots + \lg \operatorname{tg} 88^{\circ} + \lg \operatorname{tg} 89^{\circ}? $

1) Данное выражение представляет собой произведение десятичных логарифмов: $lg \sin 1° \cdot lg \sin 2° \cdot lg \sin 3° \cdot \dots \cdot lg \sin 89° \cdot lg \sin 90°$.
Один из множителей в этом произведении — это $lg \sin 90°$.
Поскольку $\sin 90° = 1$, то этот множитель равен $lg 1$.
Значение десятичного логарифма от единицы равно нулю: $lg 1 = 0$.
Так как один из множителей в произведении равен нулю, то и всё произведение равно нулю.
Ответ: 0

2) Это выражение также является произведением: $lg \tg 10° \cdot lg \tg 15° \cdot lg \tg 20° \cdot \dots \cdot lg \tg 75° \cdot lg \tg 80°$.
Последовательность углов в аргументах тангенсов (10°, 15°, 20°, ...) с шагом в 5° включает в себя угол 45°.
Таким образом, в произведении присутствует множитель $lg \tg 45°$.
Мы знаем, что $\tg 45° = 1$.
Следовательно, множитель $lg \tg 45°$ равен $lg 1 = 0$.
Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, то и всё произведение равно нулю.
Ответ: 0

3) В данном выражении $lg (\tg 30° \cdot \tg 32° \cdot \tg 34° \cdot \dots \cdot \tg 58° \cdot \tg 60°)$ мы имеем логарифм от произведения тангенсов. Рассмотрим произведение под знаком логарифма.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\tg \alpha \cdot \tg(90° - \alpha) = 1$.
Сгруппируем множители в пары, у которых сумма углов равна 90°:
$(\tg 30° \cdot \tg 60°)$, $(\tg 32° \cdot \tg 58°)$, и так далее.
Каждая такая пара дает в произведении 1. Например: $\tg 30° \cdot \tg 60° = \tg 30° \cdot \tg(90° - 30°) = 1$.
Аналогично, $\tg 32° \cdot \tg 58° = 1$, и так для всех пар.
Так как все множители разбиваются на пары, произведение которых равно 1, то всё произведение под знаком логарифма равно 1.
Исходное выражение принимает вид $lg 1$, что равно 0.
Ответ: 0

4) Это выражение представляет собой сумму логарифмов: $lg \tg 1° + lg \tg 2° + lg \tg 3° + \dots + lg \tg 88° + lg \tg 89°$.
Используя свойство логарифмов "сумма логарифмов равна логарифму произведения" ($lg a + lg b = lg(a \cdot b)$), преобразуем выражение:
$lg (\tg 1° \cdot \tg 2° \cdot \tg 3° \cdot \dots \cdot \tg 88° \cdot \tg 89°)$.
Теперь вычислим значение произведения в скобках. Применим тождество $\tg \alpha \cdot \tg(90° - \alpha) = 1$.
Сгруппируем множители: $(\tg 1° \cdot \tg 89°)$, $(\tg 2° \cdot \tg 88°)$, ..., $(\tg 44° \cdot \tg 46°)$.
Произведение в каждой такой паре равно 1.
В ряду от 1 до 89 содержится 89 членов (нечетное количество), поэтому один из них, центральный, останется без пары. Это $\tg 45°$.
Таким образом, всё произведение равно произведению единиц от пар и значения $\tg 45°$.
Так как $\tg 45° = 1$, то произведение под знаком логарифма равно 1.
Выражение сводится к $lg 1 = 0$.
Ответ: 0

4.39. Упростите выражение $\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \dots \cdot \log_{10} 9$.

4.39. Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Мы можем выбрать любое удобное основание $c > 0, c \neq 1$. Пусть это будет произвольное основание $c$.

Исходное выражение представляет собой произведение логарифмов:

$\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \ldots \cdot \log_{10} 9$

Применим формулу перехода к новому основанию $c$ для каждого множителя в этом произведении:

$\frac{\log_c 2}{\log_c 3} \cdot \frac{\log_c 3}{\log_c 4} \cdot \frac{\log_c 4}{\log_c 5} \cdot \ldots \cdot \frac{\log_c 8}{\log_c 9} \cdot \frac{\log_c 9}{\log_c 10}$

В получившемся выражении мы видим, что знаменатель каждой дроби (кроме последней) совпадает с числителем следующей дроби. Таким образом, мы можем сократить эти члены. Этот процесс называется телескопическим сокращением.

$\frac{\log_c 2}{\cancel{\log_c 3}} \cdot \frac{\cancel{\log_c 3}}{\cancel{\log_c 4}} \cdot \frac{\cancel{\log_c 4}}{\cancel{\log_c 5}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{\log_c 8}}{\cancel{\log_c 9}} \cdot \frac{\cancel{\log_c 9}}{\log_c 10}$

После выполнения всех сокращений в выражении остаются только числитель от первого множителя ($\log_c 2$) и знаменатель от последнего множителя ($\log_c 10$):

$\frac{\log_c 2}{\log_c 10}$

Теперь мы можем применить формулу перехода к новому основанию в обратном порядке ($\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$), чтобы получить конечный результат:

$\frac{\log_c 2}{\log_c 10} = \log_{10} 2$

Ответ: $\log_{10} 2$

4.40. Вычислите значение выражения $\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32$.

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифма: $log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, где $c$ – любое положительное число, не равное 1. Выберем в качестве нового основания любое удобное число, например, $e$ (натуральный логарифм) или 10 (десятичный логарифм). Пусть это будет основание $c$.

Исходное выражение: $\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32$.

Применим формулу перехода к новому основанию $c$ для каждого множителя в произведении:

$\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32 = \frac{\log_c 5}{\log_c 4} \cdot \frac{\log_c 6}{\log_c 5} \cdot \frac{\log_c 7}{\log_c 6} \cdot \frac{\log_c 32}{\log_c 7}$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе (это свойство иногда называют "цепным правилом" для логарифмов):

$\frac{\cancel{\log_c 5}}{\log_c 4} \cdot \frac{\cancel{\log_c 6}}{\cancel{\log_c 5}} \cdot \frac{\cancel{\log_c 7}}{\cancel{\log_c 6}} \cdot \frac{\log_c 32}{\cancel{\log_c 7}}$

После сокращения выражение упрощается до:

$\frac{\log_c 32}{\log_c 4}$

Используя формулу перехода к новому основанию в обратном порядке ($\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$), получаем:

$\frac{\log_c 32}{\log_c 4} = \log_4 32$

Теперь необходимо вычислить значение $\log_4 32$. Обозначим это значение через $x$, то есть $\log_4 32 = x$. По определению логарифма это равносильно уравнению $4^x = 32$.

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что 4 и 32 являются степенями числа 2:

$4 = 2^2$

$32 = 2^5$

Подставим эти значения в уравнение:

$(2^2)^x = 2^5$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{2x} = 2^5$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x = 5$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, значение исходного выражения равно 2.5.

Ответ: 2.5