Страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.3. Сравните:

1) $log_{12} 5$ и $log_{12} 6$;

2) $log_{5} \frac{1}{2}$ и $log_{5} \frac{1}{3}$;

3) $log_{\frac{1}{3}} 2$ и $log_{\frac{1}{3}} 4$;

4) $log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5}$ и $log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6}$;

5) $log_{\frac{\pi}{2}} 0,7$ и $log_{\frac{\pi}{2}} 0,6$;

6) $log_{\frac{2\pi}{5}} 8,4$ и $log_{\frac{2\pi}{5}} 8,3$.

Для сравнения логарифмов с одинаковым основанием используется свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей, то есть большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение логарифма.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей, то есть большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение логарифма.

1) Сравнить $\log_{12}5$ и $\log_{12}6$.

Основание логарифмов $a = 12$. Так как $12 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{12}x$ является возрастающей. Сравним аргументы логарифмов: $5 < 6$. Поскольку функция возрастающая, меньшему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{12}5 < \log_{12}6$.

Ответ: $\log_{12}5 < \log_{12}6$.

2) Сравнить $\log_5 \frac{1}{2}$ и $\log_5 \frac{1}{3}$.

Основание логарифмов $a = 5$. Так как $5 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_5 x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. Поскольку функция возрастающая, большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_5 \frac{1}{2} > \log_5 \frac{1}{3}$.

Ответ: $\log_5 \frac{1}{2} > \log_5 \frac{1}{3}$.

3) Сравнить $\log_{\frac{1}{3}}2$ и $\log_{\frac{1}{3}}4$.

Основание логарифмов $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ является убывающей. Сравним аргументы: $2 < 4$. Поскольку функция убывающая, большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}}2 > \log_{\frac{1}{3}}4$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}}2 > \log_{\frac{1}{3}}4$.

4) Сравнить $\log_{\frac{1}{9}}\frac{4}{5}$ и $\log_{\frac{1}{9}}\frac{5}{6}$.

Основание логарифмов $a = \frac{1}{9}$. Так как $0 < \frac{1}{9} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{9}}x$ является убывающей. Сравним аргументы $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю $30$: $\frac{4}{5} = \frac{24}{30}$ и $\frac{5}{6} = \frac{25}{30}$. Так как $24 < 25$, то $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$. Поскольку функция убывающая, меньшему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{1}{9}}\frac{4}{5} > \log_{\frac{1}{9}}\frac{5}{6}$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{9}}\frac{4}{5} > \log_{\frac{1}{9}}\frac{5}{6}$.

5) Сравнить $\log_{\frac{\pi}{2}}0,7$ и $\log_{\frac{\pi}{2}}0,6$.

Основание логарифмов $a = \frac{\pi}{2}$. Оценим его значение. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $a = \frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Поскольку $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{\pi}{2}}x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $0,7 > 0,6$. Так как функция возрастающая, большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{\pi}{2}}0,7 > \log_{\frac{\pi}{2}}0,6$.

Ответ: $\log_{\frac{\pi}{2}}0,7 > \log_{\frac{\pi}{2}}0,6$.

6) Сравнить $\log_{\frac{2\pi}{5}}8,4$ и $\log_{\frac{2\pi}{5}}8,3$.

Основание логарифмов $a = \frac{2\pi}{5}$. Оценим его значение. Чтобы сравнить $a$ с 1, сравним $2\pi$ и $5$. Так как $\pi > 2,5$, то $2\pi > 5$, и, следовательно, $a = \frac{2\pi}{5} > 1$. Логарифмическая функция $y = \log_{\frac{2\pi}{5}}x$ является возрастающей. Сравним аргументы: $8,4 > 8,3$. Поскольку функция возрастающая, большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{2\pi}{5}}8,4 > \log_{\frac{2\pi}{5}}8,3$.

Ответ: $\log_{\frac{2\pi}{5}}8,4 > \log_{\frac{2\pi}{5}}8,3$.

5.4. Сравните:

1) $\log_{0.9} \sqrt{3}$ и $\log_{0.9} \sqrt{2}$;

2) $\log_7 \frac{2}{3}$ и $\log_7 \frac{1}{2}$;

3) $\log_{\frac{2}{3}} 6,8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 6,9$;

4) $\lg \frac{\pi}{3}$ и $\lg \frac{\pi}{4}$.

1) Для сравнения чисел $\log_{0,9} \sqrt{3}$ и $\log_{0,9} \sqrt{2}$ рассмотрим свойства логарифмической функции $y = \log_a x$.

Основание логарифма $a = 0,9$. Так как $0 < 0,9 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,9} x$ является убывающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2$ из области определения выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$.

Теперь сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.

Поскольку $3 > 2$, то и $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.

Так как функция убывающая, большему значению аргумента ($\sqrt{3}$) соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{0,9} \sqrt{3} < \log_{0,9} \sqrt{2}$.

Ответ: $\log_{0,9} \sqrt{3} < \log_{0,9} \sqrt{2}$.

2) Сравним числа $\log_7 \frac{2}{3}$ и $\log_7 \frac{1}{2}$.

Основание логарифма $a = 7$. Так как $7 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_7 x$ является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2$ из области определения выполняется неравенство $\log_a x_1 > \log_a x_2$.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ и $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$.

Так как $4 > 3$, то $\frac{4}{6} > \frac{3}{6}$, а значит $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция возрастающая, большему значению аргумента ($\frac{2}{3}$) соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_7 \frac{2}{3} > \log_7 \frac{1}{2}$.

Ответ: $\log_7 \frac{2}{3} > \log_7 \frac{1}{2}$.

3) Сравним числа $\log_{\frac{2}{3}} 6,8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 6,9$.

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ является убывающей.

Сравним аргументы логарифмов: $6,8$ и $6,9$.

Очевидно, что $6,8 < 6,9$.

Так как функция убывающая, большему значению аргумента ($6,9$) соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{2}{3}} 6,8 > \log_{\frac{2}{3}} 6,9$.

Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} 6,8 > \log_{\frac{2}{3}} 6,9$.

4) Сравним числа $\lg \frac{\pi}{3}$ и $\lg \frac{\pi}{4}$.

Знак $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Основание $a = 10$. Так как $10 > 1$, функция $y = \lg x$ является возрастающей.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{4}$.

Поскольку $\pi$ - положительное число, а $3 < 4$, то $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$. Умножая обе части неравенства на $\pi$, получаем $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4}$.

Так как функция возрастающая, большему значению аргумента ($\frac{\pi}{3}$) соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\lg \frac{\pi}{3} > \lg \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\lg \frac{\pi}{3} > \lg \frac{\pi}{4}$.

5.5. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $ \log_a 0.5 > \log_a 0.4; $

2) $ \log_a \frac{2}{3} > \log_a 1; $

3) $ \log_a \sqrt{5} < \log_a \sqrt{6}; $

4) $ \log_a \frac{\pi}{4} < \log_a \frac{\pi}{3}. $

1) Дано неравенство $ \log_{a} 0,5 > \log_{a} 0,4 $.

Для решения сравним аргументы логарифмов: $ 0,5 $ и $ 0,4 $. Очевидно, что $ 0,5 > 0,4 $.

Знак неравенства для логарифмов ($>$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($>$). Такое соотношение справедливо для возрастающей логарифмической функции.

Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ является возрастающей, когда её основание $ a > 1 $.

Ответ: $a > 1$.

2) Дано неравенство $ \log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} 1 $.

Сравним аргументы логарифмов: $ \frac{2}{3} $ и $ 1 $. Очевидно, что $ \frac{2}{3} < 1 $.

Знак неравенства для логарифмов ($>$) противоположен знаку неравенства для их аргументов ($<$). Такое соотношение справедливо для убывающей логарифмической функции.

Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ является убывающей, когда её основание $ 0 < a < 1 $.

Ответ: $0 < a < 1$.

3) Дано неравенство $ \log_{a} \sqrt{5} < \log_{a} \sqrt{6} $.

Сравним аргументы логарифмов: $ \sqrt{5} $ и $ \sqrt{6} $. Так как подкоренные выражения положительны и $ 5 < 6 $, то $ \sqrt{5} < \sqrt{6} $.

Знак неравенства для логарифмов ($<$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($<$). Такое соотношение справедливо для возрастающей логарифмической функции.

Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ является возрастающей, когда её основание $ a > 1 $.

Ответ: $a > 1$.

4) Дано неравенство $ \log_{a} \frac{\pi}{4} < \log_{a} \frac{\pi}{3} $.

Сравним аргументы логарифмов: $ \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{\pi}{3} $. Так как $ 3 < 4 $, то для обратных величин справедливо $ \frac{1}{3} > \frac{1}{4} $. Умножив обе части на положительное число $ \pi $, получим $ \frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} $.

Знак неравенства для логарифмов ($<$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($<$). Такое соотношение справедливо для возрастающей логарифмической функции.

Логарифмическая функция $y = \log_{a} x$ является возрастающей, когда её основание $ a > 1 $.

Ответ: $a > 1$.

5.6. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $\log_a \frac{2}{3} > \log_a \frac{1}{2}$;

2) $\log_a 2 < \log_a \sqrt{3}$.

1) Дано неравенство $ \log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} \frac{1}{2} $.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство монотонности логарифмической функции $ y = \log_{a} x $:

• Если основание $ a > 1 $, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $ x_1 > x_2 > 0 $ выполняется неравенство $ \log_{a} x_1 > \log_{a} x_2 $. Знак неравенства сохраняется.
• Если основание $ 0 < a < 1 $, функция является убывающей. Это означает, что для любых $ x_1 > x_2 > 0 $ выполняется неравенство $ \log_{a} x_1 < \log_{a} x_2 $. Знак неравенства меняется на противоположный.

Сначала сравним аргументы логарифмов: $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{1}{2} $.
Приведя дроби к общему знаменателю 6, получаем $ \frac{4}{6} $ и $ \frac{3}{6} $.
Так как $ 4 > 3 $, то $ \frac{2}{3} > \frac{1}{2} $.

Теперь сопоставим это с исходным неравенством $ \log_{a} \frac{2}{3} > \log_{a} \frac{1}{2} $.
Мы видим, что большему значению аргумента $ \frac{2}{3} $ соответствует большее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов совпадает со знаком неравенства для их логарифмов.
Это означает, что логарифмическая функция является возрастающей, что возможно только при основании, большем единицы.

Ответ: $ a > 1 $.

2) Дано неравенство $ \log_{a} 2 < \log_{a} \sqrt{3} $.

Сравним аргументы логарифмов: $ 2 $ и $ \sqrt{3} $.
Чтобы сравнить эти числа, возведем их в квадрат:
$ 2^2 = 4 $
$ (\sqrt{3})^2 = 3 $
Поскольку $ 4 > 3 $, то $ 2 > \sqrt{3} $.

Теперь сопоставим это с исходным неравенством $ \log_{a} 2 < \log_{a} \sqrt{3} $.
Мы видим, что большему значению аргумента $ 2 $ соответствует меньшее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов ($ > $) противоположен знаку неравенства для их логарифмов ($ < $).
Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, что возможно только при основании, которое больше нуля, но меньше единицы.

Ответ: $ 0 < a < 1 $.

5.7. Положительным или отрицательным числом является:

1) $log_{0,5} 0,6;$

2) $log_{0,3} 3;$

3) $log_{2} 0,27;$

4) $log_{\pi} 3?$

Для определения знака логарифма $log_a b$ можно воспользоваться следующим правилом, основанным на свойствах логарифмической функции $y = log_a x$:

• Если основание $a > 1$, то функция возрастает. Тогда, если аргумент $b > 1$, то $log_a b > log_a 1 = 0$ (положительное). Если $0 < b < 1$, то $log_a b < log_a 1 = 0$ (отрицательное).
• Если $0 < a < 1$, то функция убывает. Тогда, если аргумент $b > 1$, то $log_a b < log_a 1 = 0$ (отрицательное). Если $0 < b < 1$, то $log_a b > log_a 1 = 0$ (положительное).

Таким образом, логарифм положителен, если основание и аргумент находятся по одну сторону от 1 (оба больше 1, или оба меньше 1). Логарифм отрицателен, если они находятся по разные стороны от 1.

1) $log_{0,5} 0,6$

Основание логарифма $a = 0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, основание меньше 1.
Аргумент логарифма $b = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, аргумент тоже меньше 1.
Основание и аргумент находятся по одну сторону от 1. Следовательно, значение логарифма положительно.
Ответ: положительным.

2) $log_{0,3} 3$

Основание логарифма $a = 0,3$. Так как $0 < 0,3 < 1$, основание меньше 1.
Аргумент логарифма $b = 3$. Так как $3 > 1$, аргумент больше 1.
Основание и аргумент находятся по разные стороны от 1. Следовательно, значение логарифма отрицательно.
Ответ: отрицательным.

3) $log_2 0,27$

Основание логарифма $a = 2$. Так как $2 > 1$, основание больше 1.
Аргумент логарифма $b = 0,27$. Так как $0 < 0,27 < 1$, аргумент меньше 1.
Основание и аргумент находятся по разные стороны от 1. Следовательно, значение логарифма отрицательно.
Ответ: отрицательным.

4) $log_{\pi} 3$

Основание логарифма $a = \pi$. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14$, поэтому $a > 1$.
Аргумент логарифма $b = 3$. Так как $3 > 1$, аргумент тоже больше 1.
Основание и аргумент находятся по одну сторону от 1. Следовательно, значение логарифма положительно.
Ответ: положительным.

5.8. Сравните с нулём:

1) $log_4 5$;

2) $log_2 \frac{1}{3}$;

3) $log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$;

4) $log_{\frac{\pi}{3}} 2$.

1) Для сравнения $\log_4 5$ с нулём, воспользуемся свойством логарифма. Знак логарифма $\log_a b$ зависит от того, по какую сторону от 1 находятся основание $a$ и аргумент $b$.
В данном случае основание $a=4$, что больше 1 ($a > 1$). Аргумент $b=5$, что также больше 1 ($b > 1$).
Если основание и аргумент логарифма находятся по одну сторону от единицы (оба больше 1 или оба меньше 1), то логарифм положителен.
Другой способ: представим 0 как логарифм с основанием 4: $0 = \log_4 1$. Теперь сравним $\log_4 5$ и $\log_4 1$. Так как основание $4 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и большему аргументу соответствует большее значение логарифма. Поскольку $5 > 1$, то $\log_4 5 > \log_4 1$.
Следовательно, $\log_4 5 > 0$.
Ответ: $\log_4 5 > 0$.

2) Сравним $\log_2 \frac{1}{3}$ с нулём.
Основание логарифма $a=2$, что больше 1 ($a > 1$). Аргумент логарифма $b = \frac{1}{3}$, что меньше 1 ($0 < b < 1$).
Если основание логарифма больше 1, а аргумент находится между 0 и 1, то логарифм отрицателен.
Проверим иначе: представим 0 как $\log_2 1$. Сравниваем $\log_2 \frac{1}{3}$ и $\log_2 1$. Основание $2 > 1$, значит функция возрастающая. Так как $\frac{1}{3} < 1$, то и $\log_2 \frac{1}{3} < \log_2 1$.
Следовательно, $\log_2 \frac{1}{3} < 0$.
Ответ: $\log_2 \frac{1}{3} < 0$.

3) Сравним $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$ с нулём.
Основание логарифма $a=\frac{1}{3}$, что меньше 1 ($0 < a < 1$). Аргумент логарифма $b=\frac{1}{2}$, что также меньше 1 ($0 < b < 1$).
Так как основание и аргумент находятся по одну сторону от единицы (оба меньше 1), логарифм положителен.
Проверим через сравнение с единицей: $0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$. Сравниваем $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$ и $\log_{\frac{1}{3}} 1$. Основание $\frac{1}{3} < 1$, значит логарифмическая функция убывающая, и меньшему аргументу соответствует большее значение логарифма. Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, то $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > \log_{\frac{1}{3}} 1$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > 0$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} > 0$.

4) Сравним $\log_{\frac{\pi}{3}} 2$ с нулём.
Оценим основание логарифма $a=\frac{\pi}{3}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159...$, то $\frac{\pi}{3} > \frac{3}{3}$, то есть $\frac{\pi}{3} > 1$.
Основание $a=\frac{\pi}{3} > 1$. Аргумент $b=2 > 1$.
Так как и основание, и аргумент больше 1, логарифм положителен.
Для проверки представим 0 как $\log_{\frac{\pi}{3}} 1$. Сравниваем $\log_{\frac{\pi}{3}} 2$ и $\log_{\frac{\pi}{3}} 1$. Так как основание $\frac{\pi}{3} > 1$, функция возрастающая. Поскольку $2 > 1$, то $\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > \log_{\frac{\pi}{3}} 1$.
Следовательно, $\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > 0$.
Ответ: $\log_{\frac{\pi}{3}} 2 > 0$.

5.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:

1) $y = \log_{2}x, [\frac{1}{4}; 8]$;

2) $y = \log_{\frac{1}{2}}x, [\frac{1}{16}; 8]$;

3) $y = \log_{\frac{2}{3}}x, [\frac{4}{9}; \frac{81}{16}]$

1) Дана функция $y = \log_2 x$ на промежутке $[\frac{1}{4}; 8]$.

Основание логарифма $a = 2$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что на заданном промежутке наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении аргумента, а наибольшее значение функции – при наибольшем значении аргумента.

Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при $x = \frac{1}{4}$:

$y_{наим} = \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2(2^{-2}) = -2$.

Найдем наибольшее значение функции. Оно достигается при $x = 8$:

$y_{наиб} = \log_2(8) = \log_2(2^3) = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2, наибольшее значение равно 3.

2) Дана функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ на промежутке $[\frac{1}{16}; 8]$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что на заданном промежутке наименьшее значение функции достигается при наибольшем значении аргумента, а наибольшее значение функции – при наименьшем значении аргумента.

Найдем наибольшее значение функции. Оно достигается при $x = \frac{1}{16}$:

$y_{наиб} = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{16}\right) = \log_{2^{-1}}(16^{-1}) = \log_{2^{-1}}((2^4)^{-1}) = \log_{2^{-1}}(2^{-4}) = \frac{-4}{-1}\log_2(2) = 4$.

Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при $x = 8$:

$y_{наим} = \log_{\frac{1}{2}}(8) = \log_{2^{-1}}(2^3) = \frac{3}{-1}\log_2(2) = -3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -3, наибольшее значение равно 4.

3) Дана функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ на промежутке $[\frac{4}{9}; \frac{81}{16}]$.

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является строго убывающей. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наибольшем значении аргумента, а наибольшее значение функции – при наименьшем значении аргумента.

Найдем наибольшее значение функции. Оно достигается при $x = \frac{4}{9}$:

$y_{наиб} = \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{4}{9}\right) = \log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right) = 2$.

Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при $x = \frac{81}{16}$:

$y_{наим} = \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{81}{16}\right) = \log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{3^4}{2^4}\right) = \log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{3}{2}\right)^4\right) = \log_{\frac{2}{3}}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\right) = -4$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшее значение равно 2.

5.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:

1) $y = \log_{\frac{1}{3}} x, \left[\frac{1}{9}; 3\right];$

2) $y = \lg x, [1; 1000].$

1)

Для функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ на промежутке $[\frac{1}{9}; 3]$.

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является монотонно убывающей, если ее основание $a$ находится в пределах $0 < a < 1$. В данном случае основание $a = \frac{1}{3}$, что удовлетворяет этому условию.Следовательно, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ является убывающей на всей области определения.

На заданном отрезке $[\frac{1}{9}; 3]$ убывающая функция принимает свое наибольшее значение в левой границе отрезка (при наименьшем значении $x$), а наименьшее — в правой границе (при наибольшем значении $x$).

Найдем значение функции на концах промежутка:

Наибольшее значение (при $x = \frac{1}{9}$):$y_{наиб} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{9}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right) = 2$

Наименьшее значение (при $x = 3$):$y_{наим} = \log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{3^{-1}} 3^1 = -1 \cdot \log_3 3 = -1$

Ответ: наибольшее значение функции равно $2$, наименьшее значение равно $-1$.

2)

Для функции $y = \lg x$ на промежутке $[1; 1000]$.

Функция $y = \lg x$ является десятичным логарифмом, то есть $y = \log_{10} x$.

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является монотонно возрастающей, если ее основание $a > 1$. В данном случае основание $a = 10$, что удовлетворяет этому условию.Следовательно, функция $y = \lg x$ является возрастающей на всей области определения.

На заданном отрезке $[1; 1000]$ возрастающая функция принимает свое наименьшее значение в левой границе отрезка (при наименьшем значении $x$), а наибольшее — в правой границе (при наибольшем значении $x$).

Найдем значение функции на концах промежутка:

Наименьшее значение (при $x = 1$):$y_{наим} = \lg 1 = 0$

Наибольшее значение (при $x = 1000$):$y_{наиб} = \lg 1000 = \lg 10^3 = 3$

Ответ: наибольшее значение функции равно $3$, наименьшее значение равно $0$.

5.11. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = \log_2 x$ равно 3, а наименьшее равно -1?

Рассмотрим функцию $y = \log_2(x)$. Основание этого логарифма $a=2$. Поскольку основание больше единицы ($a > 1$), данная функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть при $x > 0$.

Для строго возрастающей функции на отрезке $[x_1; x_2]$ наименьшее значение достигается в левой границе отрезка (в точке $x_1$), а наибольшее — в правой границе (в точке $x_2$). По условию задачи, наименьшее значение функции равно $-1$, а наибольшее равно $3$.

1. Найдем левую границу искомого промежутка, $x_1$, подставив наименьшее значение функции $y_{min} = -1$ в уравнение:
$\log_2(x_1) = -1$
По определению логарифма, это равенство эквивалентно следующему:
$x_1 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

2. Найдем правую границу искомого промежутка, $x_2$, подставив наибольшее значение функции $y_{max} = 3$ в уравнение:
$\log_2(x_2) = 3$
По определению логарифма:
$x_2 = 2^3 = 8$

Таким образом, функция $y = \log_2(x)$ принимает значения от $-1$ до $3$ на отрезке от $x_1 = \frac{1}{2}$ до $x_2 = 8$.

Ответ: $[\frac{1}{2}; 8]$

5.12. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ равно -1, а наименьшее равно -2?

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Так как основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$, данная логарифмическая функция является монотонно убывающей на всей своей области определения, то есть при $x > 0$.

Для убывающей функции верно, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Это означает, что свое наибольшее значение на промежутке функция достигнет в левой границе этого промежутка (при наименьшем $x$), а наименьшее значение — в правой границе (при наибольшем $x$).

По условию, наибольшее значение функции равно -1. Найдем соответствующее значение аргумента $x$:

$\log_{\frac{1}{2}} x = -1$

По определению логарифма, $x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$.

Это будет левая граница искомого промежутка.

По условию, наименьшее значение функции равно -2. Найдем соответствующее значение аргумента $x$:

$\log_{\frac{1}{2}} x = -2$

По определению логарифма, $x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4$.

Это будет правая граница искомого промежутка.

Таким образом, на промежутке $[2, 4]$ функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ принимает наибольшее значение -1 (при $x=2$) и наименьшее значение -2 (при $x=4$).

Ответ: $[2, 4]$.