Страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.46. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной ей:

1) $y = -0.4x + 2$;

2) $y = \sqrt{x-2}$.

1) $y = -0,4x + 2$

Исходная функция $y = -0,4x + 2$ является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.
Найдем точки пересечения с осями координат:
При $x = 0$, $y = -0,4 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0; 2).
При $y = 0$, $0 = -0,4x + 2$, откуда $0,4x = 2$, $x = 2 / 0,4 = 5$. Точка (5; 0).

Теперь найдем функцию, обратную данной. Для этого поменяем местами $x$ и $y$ и выразим новый $y$ через $x$:
$x = -0,4y + 2$
$x - 2 = -0,4y$
$y = \frac{x - 2}{-0,4}$
$y = \frac{x}{-0,4} - \frac{2}{-0,4}$
$y = -2,5x + 5$

Обратная функция $y = -2,5x + 5$ также является линейной. Найдем две точки для построения ее графика:
При $x = 0$, $y = -2,5 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка (0; 5).
При $y = 0$, $0 = -2,5x + 5$, откуда $2,5x = 5$, $x = 2$. Точка (2; 0).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.
Для построения нужно начертить в одной системе координат:
1. Прямую, проходящую через точки (0; 2) и (5; 0).
2. Прямую, проходящую через точки (0; 5) и (2; 0).
3. (Для проверки) Пунктирную прямую $y=x$, проходящую через (0;0), (1;1) и т.д.

Ответ: Исходная функция $y = -0,4x + 2$ (прямая через точки (0; 2) и (5; 0)). Обратная функция $y = -2,5x + 5$ (прямая через точки (0; 5) и (2; 0)). Графики этих функций симметричны относительно прямой $y=x$.

2) $y = \sqrt{x - 2}$

Исследуем исходную функцию $y = \sqrt{x - 2}$.
Это ветвь параболы. Найдем ее область определения и область значений.
Область определения $D(y)$: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Итак, $D(y) = [2; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Итак, $E(y) = [0; +\infty)$.
Найдем несколько точек для построения графика:
При $x = 2$, $y = \sqrt{2-2} = 0$. Точка (2; 0).
При $x = 3$, $y = \sqrt{3-2} = 1$. Точка (3; 1).
При $x = 6$, $y = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$. Точка (6; 2).

Теперь найдем функцию, обратную данной. Поменяем местами $x$ и $y$:
$x = \sqrt{y - 2}$
Чтобы избавиться от корня, возведем обе части в квадрат:
$x^2 = y - 2$
$y = x^2 + 2$

Важно определить область определения и область значений обратной функции. Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, а область значений обратной — с областью определения исходной.
Для обратной функции $y = x^2 + 2$:
Область определения $D(y_{обр}) = E(y_{исх}) = [0; +\infty)$, то есть $x \ge 0$.
Область значений $E(y_{обр}) = D(y_{исх}) = [2; +\infty)$, то есть $y \ge 2$.
Таким образом, обратная функция — это $y = x^2 + 2$ при $x \ge 0$. Это правая ветвь параболы с вершиной в точке (0; 2).
Найдем несколько точек для ее построения:
При $x = 0$, $y = 0^2 + 2 = 2$. Точка (0; 2).
При $x = 1$, $y = 1^2 + 2 = 3$. Точка (1; 3).
При $x = 2$, $y = 2^2 + 2 = 6$. Точка (2; 6).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.
Для построения нужно начертить в одной системе координат:
1. График функции $y = \sqrt{x - 2}$, который является ветвью параболы, выходящей из точки (2; 0) и проходящей через (3; 1) и (6; 2).
2. График функции $y = x^2 + 2$ при $x \ge 0$, который является правой ветвью параболы с вершиной в точке (0; 2), проходящей через (1; 3) и (2; 6).

Ответ: Исходная функция $y = \sqrt{x - 2}$ (ветвь параболы с началом в точке (2; 0)). Обратная функция $y = x^2 + 2$ при $x \ge 0$ (правая ветвь параболы с вершиной в точке (0; 2)). Графики этих функций симметричны относительно прямой $y=x$.