Страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.13. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \log_3(x + 1);$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 1);$

3) $f(x) = \log_4(-x);$

4) $f(x) = \lg x^2;$

5) $f(x) = \log_5(x^2 + x + 1);$

6) $f(x) = \log_{0.6}(5x - 6 - x^2);$

7) $f(x) = 2\lg x + 3\lg (2 - x);$

8) $f(x) = \log_2 \frac{2x - 3}{x + 7}.$

1) $f(x) = \log_3 (x + 1)$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ задается условием, что выражение, стоящее под знаком логарифма (аргумент), должно быть строго больше нуля. В данном случае аргумент логарифма равен $x + 1$.

Составим и решим неравенство:

$x + 1 > 0$

$x > -1$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие -1.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 1)$

Аргумент логарифма равен $x^2 + 1$. Условие для области определения:

$x^2 + 1 > 0$

Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного значения $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$ для любого $x$.

Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

3) $f(x) = \log_4 (-x)$

Аргумент логарифма равен $-x$. Условие для области определения:

$-x > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$

4) $f(x) = \lg x^2$

Десятичный логарифм $\lg$ имеет основание 10. Аргумент логарифма равен $x^2$. Условие для области определения:

$x^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Во всех остальных случаях квадрат числа положителен. Таким образом, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

5) $f(x) = \log_5 (x^2 + x + 1)$

Аргумент логарифма равен $x^2 + x + 1$. Условие для области определения:

$x^2 + x + 1 > 0$

Это квадратичное неравенство. Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + x + 1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ принимает только положительные значения при любых действительных $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

6) $f(x) = \log_{0,6} (5x - 6 - x^2)$

Аргумент логарифма равен $5x - 6 - x^2$. Условие для области определения:

$5x - 6 - x^2 > 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак:

$x^2 - 5x + 6 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $2 < x < 3$.

Ответ: $x \in (2; 3)$

7) $f(x) = 2\lg x + 3\lg (2 - x)$

Область определения данной функции является пересечением областей определения двух слагаемых: $2\lg x$ и $3\lg (2 - x)$.

1. Для слагаемого $2\lg x$ аргумент логарифма $x$ должен быть положителен: $x > 0$.

2. Для слагаемого $3\lg (2 - x)$ аргумент $2 - x$ должен быть положителен: $2 - x > 0$, что равносильно $x < 2$.

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x < 2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $0 < x < 2$.

Ответ: $x \in (0; 2)$

8) $f(x) = \log_2 \frac{2x - 3}{x + 7}$

Аргумент логарифма равен дроби $\frac{2x - 3}{x + 7}$. Условие для области определения:

$\frac{2x - 3}{x + 7} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1,5$.

Нуль знаменателя: $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -7$.

Отметим точки $-7$ и $1,5$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 1,5)$ и $(1,5; +\infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x \in (1,5; +\infty)$, например $x=2$: $\frac{2(2) - 3}{2 + 7} = \frac{1}{9} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-7; 1,5)$, например $x=0$: $\frac{2(0) - 3}{0 + 7} = -\frac{3}{7} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (-\infty; -7)$, например $x=-8$: $\frac{2(-8) - 3}{-8 + 7} = \frac{-19}{-1} = 19 > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (1,5; +\infty)$

5.14. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \log_{7} (6 - x)$;

2) $f(x) = \log_{12} |x|$;

3) $f(x) = \lg (x^2 - 1)$;

4) $f(x) = \log_{0.4} (7x - x^2)$;

5) $f(x) = \lg (x + 2) - 2\lg (x + 5)$;

6) $f(x) = \lg \frac{2x + 1}{x - 1}$.

1) $f(x) = \log_7(6 - x)$

Область определения логарифмической функции определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. В данном случае:

$6 - x > 0$

Решаем неравенство:

$-x > -6$

$x < 6$

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие 6.

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$

2) $f(x) = \log_{12}|x|$

Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля:

$|x| > 0$

Модуль любого числа является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$). Равенство нулю достигается только при $x = 0$. Следовательно, неравенство $|x| > 0$ выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

3) $f(x) = \lg(x^2 - 1)$

Аргумент десятичного логарифма должен быть положительным:

$x^2 - 1 > 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• При $x < -1$ (например, $x = -2$), выражение $(x - 1)(x + 1) = (-3)(-1) = 3 > 0$.
• При $-1 < x < 1$ (например, $x = 0$), выражение $(x - 1)(x + 1) = (-1)(1) = -1 < 0$.
• При $x > 1$ (например, $x = 2$), выражение $(x - 1)(x + 1) = (1)(3) = 3 > 0$.

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

4) $f(x) = \log_{0,4}(7x - x^2)$

Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

$7x - x^2 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(7 - x) > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни уравнения $x(7 - x) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$. Парабола $y = 7x - x^2$ имеет ветви, направленные вниз, поэтому она положительна между корнями.

Таким образом, решение неравенства — интервал $(0; 7)$.

Ответ: $x \in (0; 7)$

5) $f(x) = \lg(x + 2) - 2\lg(x + 5)$

Область определения данной функции является пересечением областей определения каждого из слагаемых. Поэтому должны одновременно выполняться два условия:

$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Решаем систему неравенств:

$\begin{cases} x > -2 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является более сильное неравенство $x > -2$.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$

6) $f(x) = \lg \frac{2x + 1}{x - 1}$

Аргумент логарифма, которым является дробь, должен быть строго положительным:

$\frac{2x + 1}{x - 1} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$2x + 1 = 0 \implies x = -0,5$

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Эти точки делят числовую прямую на интервалы $(-\infty; -0,5)$, $(-0,5; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале:

• При $x < -0,5$ (например, $x = -1$), дробь $\frac{2(-1) + 1}{-1 - 1} = \frac{-1}{-2} > 0$.
• При $-0,5 < x < 1$ (например, $x = 0$), дробь $\frac{2(0) + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} < 0$.
• При $x > 1$ (например, $x = 2$), дробь $\frac{2(2) + 1}{2 - 1} = \frac{5}{1} > 0$.

Неравенство выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\infty; -0,5)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (1; +\infty)$

5.15. Постройте на одной координатной плоскости графики функций

$y = \log_2 x$ и $y = \log_2 \frac{1}{x}$. Каково взаимное расположение построенных графиков?

Постройте на одной координатной плоскости графики функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_2 \frac{1}{x}$

Для построения графиков проанализируем каждую функцию и найдем их ключевые точки.
1. График $y = \log_2 x$. Это стандартная логарифмическая функция с основанием $2$, которое больше единицы. Область определения функции: $x > 0$. Функция является возрастающей на всей области определения. График проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_2 1 = 0$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой для графика.
Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0.25$, $y = \log_2(0.25) = \log_2(2^{-2}) = -2$; точка $(0.25, -2)$
• при $x = 0.5$, $y = \log_2(0.5) = \log_2(2^{-1}) = -1$; точка $(0.5, -1)$
• при $x = 1$, $y = \log_2(1) = 0$; точка $(1, 0)$
• при $x = 2$, $y = \log_2(2) = 1$; точка $(2, 1)$
• при $x = 4$, $y = \log_2(4) = 2$; точка $(4, 2)$

2. График $y = \log_2 \frac{1}{x}$. Преобразуем данную функцию, используя свойство логарифма степени: $\log_a(b^p) = p \cdot \log_a b$.
$y = \log_2 \frac{1}{x} = \log_2(x^{-1}) = -1 \cdot \log_2 x = -\log_2 x$.
Таким образом, нам нужно построить график функции $y = -\log_2 x$. Область определения этой функции также $x > 0$. График этой функции можно получить из графика $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).
Найдем несколько точек для этого графика:

• при $x = 0.25$, $y = -\log_2(0.25) = -(-2) = 2$; точка $(0.25, 2)$
• при $x = 0.5$, $y = -\log_2(0.5) = -(-1) = 1$; точка $(0.5, 1)$
• при $x = 1$, $y = -\log_2(1) = 0$; точка $(1, 0)$
• при $x = 2$, $y = -\log_2(2) = -1$; точка $(2, -1)$
• при $x = 4$, $y = -\log_2(4) = -2$; точка $(4, -2)$

Ответ: Построение графиков производится путем нанесения вычисленных точек для каждой функции на координатную плоскость и их соединения плавными кривыми. График функции $y = \log_2 x$ — возрастающая кривая, проходящая через точки $(0.5, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$. График функции $y = \log_2 \frac{1}{x}$ — убывающая кривая, проходящая через точки $(0.5, 1)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$.

Каково взаимное расположение построенных графиков?

Как было установлено при анализе второй функции, $y = \log_2 \frac{1}{x}$ является той же функцией, что и $y = -\log_2 x$.
Сравнение функций $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = -\log_2 x$ показывает, что для любого $x > 0$ выполняется равенство $y_2 = -y_1$.
Геометрически это означает, что точка $(x, y_2)$ на втором графике симметрична точке $(x, y_1)$ на первом графике относительно оси абсцисс ($Ox$). Следовательно, весь график функции $y = \log_2 \frac{1}{x}$ симметричен графику функции $y = \log_2 x$ относительно оси $Ox$.
Оба графика пересекаются в одной общей точке $(1, 0)$.

Ответ: Графики функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_2 \frac{1}{x}$ симметричны относительно оси абсцисс ($Ox$).

графиков.

5.16. Постройте на одной координатной плоскости графики функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Каково взаимное расположение построенных графиков?

Построение графиков функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$

Область определения обеих логарифмических функций: $x > 0$. Следовательно, графики обеих функций расположены в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$). Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой для обоих графиков.

1. Для функции $y = \log_3 x$. Так как основание логарифма $a = 3 > 1$, функция является возрастающей. Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- если $x = 1/3$, то $y = \log_3(1/3) = -1$;
- если $x = 1$, то $y = \log_3(1) = 0$;
- если $x = 3$, то $y = \log_3(3) = 1$;
- если $x = 9$, то $y = \log_3(9) = 2$.
График функции $y = \log_3 x$ проходит через точки $(1/3, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$.

2. Для функции $y = \log_{1/3} x$. Так как основание логарифма $a = 1/3$ и $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей. Найдем координаты нескольких точек:
- если $x = 1/3$, то $y = \log_{1/3}(1/3) = 1$;
- если $x = 1$, то $y = \log_{1/3}(1) = 0$;
- если $x = 3$, то $y = \log_{1/3}(3) = -1$;
- если $x = 9$, то $y = \log_{1/3}(9) = -2$.
График функции $y = \log_{1/3} x$ проходит через точки $(1/3, 1)$, $(1, 0)$, $(3, -1)$, $(9, -2)$.

Взаимное расположение построенных графиков

Чтобы определить взаимное расположение графиков, проанализируем связь между функциями. Преобразуем функцию $y = \log_{1/3} x$, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Представим основание $1/3$ в виде степени числа $3$: $1/3 = 3^{-1}$. Тогда:

$y = \log_{1/3} x = \log_{3^{-1}} x$

Применяя указанное свойство, получаем:

$\log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$

Таким образом, мы показали, что функция $y = \log_{1/3} x$ эквивалентна функции $y = -\log_3 x$.

Это означает, что для любого допустимого значения $x$, ордината (значение $y$) графика функции $y = \log_{1/3} x$ равна ординате графика функции $y = \log_3 x$, взятой с противоположным знаком. Если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = \log_3 x$, то точка $(x_0, -y_0)$ принадлежит графику $y = \log_{1/3} x$.

Геометрически такое преобразование является симметрией (зеркальным отражением) относительно оси абсцисс ($Ox$). Оба графика пересекаются в общей точке $(1, 0)$, так как логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Ответ: Графики функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс ($Ox$).

5.17. Сравните:

1) $\log_9 2$ и $3$;

2) $\log_{\frac{1}{5}} 27$ и $-2$;

3) $\log_{\sqrt{3}} 26$ и $6$;

4) $\log_{16} 0,1$ и $-\frac{3}{4}$.

1) $\log_9 2$ и 3

Для сравнения двух чисел, представим число 3 в виде логарифма с основанием 9. Используем свойство логарифма $b = \log_a a^b$.
Получаем: $3 = \log_9 9^3$.
Вычислим $9^3 = 729$. Таким образом, $3 = \log_9 729$.
Теперь нам нужно сравнить $\log_9 2$ и $\log_9 729$.
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ с основанием $a > 1$ является возрастающей. В нашем случае основание $9 > 1$, поэтому чем больше аргумент (число под логарифмом), тем больше значение логарифма.
Сравним аргументы: $2 < 729$.
Следовательно, $\log_9 2 < \log_9 729$, а значит, $\log_9 2 < 3$.
Ответ: $\log_9 2 < 3$.

2) $\log_{\frac{1}{5}} 27$ и -2

Представим число -2 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{5}$. Используя свойство $b = \log_a a^b$, получаем:
$-2 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$.
Вычислим значение степени: $\left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25$.
Таким образом, $-2 = \log_{\frac{1}{5}} 25$.
Теперь сравним $\log_{\frac{1}{5}} 27$ и $\log_{\frac{1}{5}} 25$.
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. В нашем случае основание $0 < \frac{1}{5} < 1$, поэтому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы: $27 > 25$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{5}} 27 < \log_{\frac{1}{5}} 25$, а значит, $\log_{\frac{1}{5}} 27 < -2$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{5}} 27 < -2$.

3) $\log_{\sqrt{3}} 26$ и 6

Представим число 6 в виде логарифма с основанием $\sqrt{3}$. По свойству $b = \log_a a^b$ имеем:
$6 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^6$.
Вычислим значение степени: $(\sqrt{3})^6 = (3^{1/2})^6 = 3^{6/2} = 3^3 = 27$.
Таким образом, $6 = \log_{\sqrt{3}} 27$.
Теперь сравним $\log_{\sqrt{3}} 26$ и $\log_{\sqrt{3}} 27$.
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей, так как ее основание $\sqrt{3} \approx 1,732 > 1$.
Следовательно, чем больше аргумент, тем больше значение логарифма.
Сравним аргументы: $26 < 27$.
Отсюда следует, что $\log_{\sqrt{3}} 26 < \log_{\sqrt{3}} 27$, а значит, $\log_{\sqrt{3}} 26 < 6$.
Ответ: $\log_{\sqrt{3}} 26 < 6$.

4) $\log_{16} 0,1$ и $-\frac{3}{4}$

Представим число $-\frac{3}{4}$ в виде логарифма с основанием 16. По свойству $b = \log_a a^b$ имеем:
$-\frac{3}{4} = \log_{16} 16^{-3/4}$.
Вычислим значение степени: $16^{-3/4} = (2^4)^{-3/4} = 2^{4 \cdot (-3/4)} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125$.
Таким образом, $-\frac{3}{4} = \log_{16} 0,125$.
Теперь сравним $\log_{16} 0,1$ и $\log_{16} 0,125$.
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей, так как ее основание $16 > 1$.
Следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Сравним аргументы: $0,1 < 0,125$.
Отсюда следует, что $\log_{16} 0,1 < \log_{16} 0,125$, а значит, $\log_{16} 0,1 < -\frac{3}{4}$.
Ответ: $\log_{16} 0,1 < -\frac{3}{4}$.

5.18. Сравните:

1) $\log_{0.1} 12$ и $1$;

2) $\log_4 3$ и $-\frac{1}{2}$;

3) $\frac{2}{3}$ и $\log_{125} 30$.

1) Для того чтобы сравнить $\log_{0,1} 12$ и $1$, представим число $1$ в виде логарифма с основанием $0,1$.

Используя свойство логарифма $\log_a a = 1$, получаем: $1 = \log_{0,1} 0,1$.

Теперь задача сводится к сравнению двух логарифмов: $\log_{0,1} 12$ и $\log_{0,1} 0,1$.

Основание логарифма $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,1} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $12$ и $0,1$.

Очевидно, что $12 > 0,1$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием $0,1$ является убывающей, из неравенства $12 > 0,1$ следует обратное неравенство для значений логарифмов: $\log_{0,1} 12 < \log_{0,1} 0,1$.

Так как $\log_{0,1} 0,1 = 1$, то получаем $\log_{0,1} 12 < 1$.

Ответ: $\log_{0,1} 12 < 1$.

2) Чтобы сравнить $\log_4 3$ и $-\frac{1}{2}$, представим число $-\frac{1}{2}$ в виде логарифма с основанием $4$.

Пусть $\log_4 x = -\frac{1}{2}$. По определению логарифма, это означает, что $x = 4^{-1/2}$.

Вычислим значение $x$: $x = 4^{-1/2} = \frac{1}{4^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $-\frac{1}{2} = \log_4 \frac{1}{2}$.

Теперь сравним два логарифма: $\log_4 3$ и $\log_4 \frac{1}{2}$.

Основание логарифма $a = 4$. Так как $4 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_4 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы: $3 > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция возрастающая, из неравенства $3 > \frac{1}{2}$ следует такое же неравенство для логарифмов: $\log_4 3 > \log_4 \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\log_4 3 > -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\log_4 3 > -\frac{1}{2}$.

3) Чтобы сравнить $\frac{2}{3}$ и $\log_{125} 30$, представим число $\frac{2}{3}$ в виде логарифма с основанием $125$.

Пусть $\log_{125} x = \frac{2}{3}$. По определению логарифма, $x = 125^{2/3}$.

Вычислим значение $x$: $x = (125^{1/3})^2 = (\sqrt[3]{125})^2$.

Так как $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.

Тогда $x = 5^2 = 25$.

Следовательно, мы можем записать, что $\frac{2}{3} = \log_{125} 25$.

Теперь задача сводится к сравнению $\log_{125} 25$ и $\log_{125} 30$.

Основание логарифма $a = 125$. Так как $125 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{125} x$ является возрастающей.

Сравним аргументы: $25 < 30$.

Поскольку функция возрастающая, из неравенства $25 < 30$ следует, что $\log_{125} 25 < \log_{125} 30$.

Таким образом, $\frac{2}{3} < \log_{125} 30$.

Ответ: $\frac{2}{3} < \log_{125} 30$.

5.19. Между какими двумя последовательными целыми числами находится число:

1) $\log_3 10;$

2) $\log_2 5;$

3) $\log_{\frac{1}{3}} 7;$

4) $\log_{0,1} 2?$

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\log_3 10$, нам необходимо найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \log_3 10 < n+1$.
По определению логарифма, если $x = \log_b a$, то $b^x = a$. В нашем случае $3^x = 10$.
Наша задача сводится к поиску целых степеней числа 3, между которыми находится число 10.
Рассмотрим степени числа 3:
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
Так как $9 < 10 < 27$, мы можем записать неравенство $3^2 < 10 < 3^3$.
Поскольку основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и знаки неравенства при логарифмировании сохраняются.
Прологарифмируем все части неравенства по основанию 3:
$\log_3(3^2) < \log_3 10 < \log_3(3^3)$
$2 < \log_3 10 < 3$
Таким образом, число $\log_3 10$ находится между целыми числами 2 и 3.
Ответ: между 2 и 3.

2) Для числа $\log_2 5$ ищем целое число $n$, такое что $n < \log_2 5 < n+1$.
Это эквивалентно поиску целых степеней числа 2, между которыми находится число 5, то есть $2^n < 5 < 2^{n+1}$.
Рассмотрим степени числа 2:
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
Так как $4 < 5 < 8$, мы можем записать неравенство $2^2 < 5 < 2^3$.
Основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 x$ возрастающая, поэтому знаки неравенства сохраняются:
$\log_2(2^2) < \log_2 5 < \log_2(2^3)$
$2 < \log_2 5 < 3$
Таким образом, число $\log_2 5$ находится между целыми числами 2 и 3.
Ответ: между 2 и 3.

3) Для числа $\log_{1/3} 7$ ищем целое число $n$, такое что $n < \log_{1/3} 7 < n+1$.
Основание логарифма $a = 1/3$ находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция $y = \log_{1/3} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, и знаки неравенства при логарифмировании меняются на противоположные.
Найдем целые степени числа $1/3$, между которыми находится число 7.
Рассмотрим степени числа $1/3$:
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
$(\frac{1}{3})^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$
Мы видим, что $3 < 7 < 9$, то есть $(\frac{1}{3})^{-1} < 7 < (\frac{1}{3})^{-2}$.
Прологарифмируем все части неравенства по основанию $1/3$, меняя знаки неравенства на противоположные:
$\log_{1/3}((\frac{1}{3})^{-1}) > \log_{1/3} 7 > \log_{1/3}((\frac{1}{3})^{-2})$
$-1 > \log_{1/3} 7 > -2$
Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-2 < \log_{1/3} 7 < -1$
Таким образом, число $\log_{1/3} 7$ находится между целыми числами -2 и -1.
Ответ: между -2 и -1.

4) Для числа $\log_{0.1} 2$ ищем целое число $n$, такое что $n < \log_{0.1} 2 < n+1$.
Основание логарифма $a = 0.1$ находится в интервале $0 < a < 1$, поэтому логарифмическая функция $y = \log_{0.1} x$ является убывающей.
Найдем целые степени числа 0.1, между которыми находится число 2.
Рассмотрим степени числа 0.1:
$(0.1)^0 = 1$
$(0.1)^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10$
Мы видим, что $1 < 2 < 10$, то есть $(0.1)^0 < 2 < (0.1)^{-1}$.
Прологарифмируем все части неравенства по основанию 0.1, меняя знаки неравенства на противоположные:
$\log_{0.1}((0.1)^0) > \log_{0.1} 2 > \log_{0.1}((0.1)^{-1})$
$0 > \log_{0.1} 2 > -1$
Запишем неравенство в стандартном виде:
$-1 < \log_{0.1} 2 < 0$
Таким образом, число $\log_{0.1} 2$ находится между целыми числами -1 и 0.
Ответ: между -1 и 0.

5.20. Между какими двумя последовательными целыми числами находится

число:

1) $log_2 29$;

2) $log_{\frac{1}{2}} 9$?

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_2 29$, необходимо найти такие целые числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется двойное неравенство $n < \log_2 29 < n+1$.
Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому неравенство $n < \log_2 29 < n+1$ эквивалентно неравенству $2^n < 29 < 2^{n+1}$.
Теперь найдем степени числа 2, между которыми находится число 29:
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
Мы видим, что $16 < 29 < 32$.
Следовательно, $2^4 < 29 < 2^5$.
Применив логарифм по основанию 2 ко всем частям этого неравенства, получим:
$\log_2(2^4) < \log_2 29 < \log_2(2^5)$
Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:
$4 < \log_2 29 < 5$
Таким образом, число $\log_2 29$ находится между последовательными целыми числами 4 и 5.
Ответ: 4 и 5.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\log_{\frac{1}{2}} 9$, необходимо найти такие целые числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < \log_{\frac{1}{2}} 9 < n+1$.
Найдем степени основания логарифма, то есть числа $\frac{1}{2}$, между которыми находится число 9. Для удобства будем использовать степени двойки, так как $(\frac{1}{2})^k = 2^{-k}$.
Рассмотрим степени числа 2:
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
Очевидно, что $8 < 9 < 16$.
Теперь применим ко всем частям этого двойного неравенства логарифм по основанию $\frac{1}{2}$. Основание логарифма $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Это значит, что при логарифмировании знаки неравенства меняются на противоположные:
$\log_{\frac{1}{2}} 8 > \log_{\frac{1}{2}} 9 > \log_{\frac{1}{2}} 16$
Вычислим значения логарифмов по краям неравенства:
$\log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = -3 \cdot \log_2 2 = -3$
$\log_{\frac{1}{2}} 16 = \log_{2^{-1}} 2^4 = -4 \cdot \log_2 2 = -4$
Подставив эти значения в неравенство, получаем:
$-3 > \log_{\frac{1}{2}} 9 > -4$
Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему):
$-4 < \log_{\frac{1}{2}} 9 < -3$
Следовательно, число $\log_{\frac{1}{2}} 9$ находится между последовательными целыми числами -4 и -3.
Ответ: -4 и -3.

5.21. Сравните:

1) $\log_4 5$ и $\log_5 4$;

2) $\log_{1.5} 1.3$ и $\log_{1.3} 1.5$;

3) $\log_{0.7} 0.8$ и $\log_{0.8} 0.7$;

4) $\log_{0.2} 0.1$ и $\log_{0.1} 0.2$.

1) Сравните $\log_{4} 5$ и $\log_{5} 4$

Для сравнения этих двух логарифмов мы сравним каждый из них с единицей, используя свойства логарифмической функции $y = \log_a x$.

Рассмотрим первый логарифм: $\log_{4} 5$.
Основание логарифмической функции $a=4$, что больше 1 ($a > 1$). Логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Аргумент логарифма $x=5$, что больше основания ($5 > 4$).
Следовательно, $\log_{4} 5 > \log_{4} 4 = 1$.

Рассмотрим второй логарифм: $\log_{5} 4$.
Основание логарифмической функции $a=5$, что больше 1 ($a > 1$). Эта функция также является возрастающей.
Аргумент логарифма $x=4$, что меньше основания ($4 < 5$).
Следовательно, $\log_{5} 4 < \log_{5} 5 = 1$.

Так как $\log_{4} 5 > 1$, а $\log_{5} 4 < 1$, то мы можем заключить, что $\log_{4} 5 > \log_{5} 4$.

Ответ: $\log_{4} 5 > \log_{5} 4$.

2) Сравните $\log_{1,5} 1,3$ и $\log_{1,3} 1,5$

Сравним каждое из выражений с 1, используя свойства логарифмической функции.

Рассмотрим $\log_{1,5} 1,3$.
Основание $a=1,5 > 1$. Функция $y=\log_{1,5}x$ является возрастающей.
Поскольку аргумент $1,3$ меньше основания $1,5$, то значение логарифма будет меньше 1.
То есть, $\log_{1,5} 1,3 < \log_{1,5} 1,5 = 1$.

Рассмотрим $\log_{1,3} 1,5$.
Основание $a=1,3 > 1$. Функция $y=\log_{1,3}x$ является возрастающей.
Поскольку аргумент $1,5$ больше основания $1,3$, то значение логарифма будет больше 1.
То есть, $\log_{1,3} 1,5 > \log_{1,3} 1,3 = 1$.

Поскольку $\log_{1,5} 1,3 < 1$ и $\log_{1,3} 1,5 > 1$, мы можем заключить, что $\log_{1,5} 1,3 < \log_{1,3} 1,5$.

Ответ: $\log_{1,5} 1,3 < \log_{1,3} 1,5$.

3) Сравните $\log_{0,7} 0,8$ и $\log_{0,8} 0,7$

Для сравнения используем свойство монотонности логарифмической функции и сравним каждое значение с 1.

Рассмотрим $\log_{0,7} 0,8$.
Основание $a=0,7$, что находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Аргумент $0,8$ больше основания $0,7$.
Так как функция убывающая, то из $0,8 > 0,7$ следует, что $\log_{0,7} 0,8 < \log_{0,7} 0,7 = 1$.

Рассмотрим $\log_{0,8} 0,7$.
Основание $a=0,8$, что также находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей.
Аргумент $0,7$ меньше основания $0,8$.
Так как функция убывающая, то из $0,7 < 0,8$ следует, что $\log_{0,8} 0,7 > \log_{0,8} 0,8 = 1$.

Следовательно, так как $\log_{0,7} 0,8 < 1$ и $\log_{0,8} 0,7 > 1$, то $\log_{0,7} 0,8 < \log_{0,8} 0,7$.

Ответ: $\log_{0,7} 0,8 < \log_{0,8} 0,7$.

4) Сравните $\log_{0,2} 0,1$ и $\log_{0,1} 0,2$

Сравним каждое из выражений с единицей, опираясь на свойства логарифмов.

Рассмотрим $\log_{0,2} 0,1$.
Основание $a=0,2$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция $y=\log_{0,2}x$ является убывающей.
Аргумент $0,1$ меньше основания $0,2$.
Из-за убывания функции, из неравенства $0,1 < 0,2$ следует, что $\log_{0,2} 0,1 > \log_{0,2} 0,2 = 1$.

Рассмотрим $\log_{0,1} 0,2$.
Основание $a=0,1$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция $y=\log_{0,1}x$ является убывающей.
Аргумент $0,2$ больше основания $0,1$.
Из-за убывания функции, из неравенства $0,2 > 0,1$ следует, что $\log_{0,1} 0,2 < \log_{0,1} 0,1 = 1$.

Таким образом, мы имеем $\log_{0,2} 0,1 > 1$ и $\log_{0,1} 0,2 < 1$. Отсюда следует, что $\log_{0,2} 0,1 > \log_{0,1} 0,2$.

Ответ: $\log_{0,2} 0,1 > \log_{0,1} 0,2$.

5.22. Сравните:

1) $log_{1,7} 1,8$ и $log_{1,8} 1,7$;

2) $log_{0,2} 0,3$ и $log_{0,3} 0,2$.

1) Сравнить $ \log_{1.7} 1.8 $ и $ \log_{1.8} 1.7 $

Для решения этой задачи сравним каждое из чисел с единицей. Для этого воспользуемся свойствами логарифмической функции $ y = \log_a x $.

Рассмотрим первое число: $ \log_{1.7} 1.8 $.

Основание логарифма $ a = 1.7 $. Так как $ a > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{1.7} x $ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргумент $ 1.8 $ с основанием $ 1.7 $. Так как $ 1.8 > 1.7 $, то $ \log_{1.7} 1.8 > \log_{1.7} 1.7 $.

Поскольку $ \log_{1.7} 1.7 = 1 $, мы получаем, что $ \log_{1.7} 1.8 > 1 $.

Рассмотрим второе число: $ \log_{1.8} 1.7 $.

Основание логарифма $ a = 1.8 $. Так как $ a > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{1.8} x $ также является возрастающей.

Сравним аргумент $ 1.7 $ с основанием $ 1.8 $. Так как $ 1.7 < 1.8 $, то $ \log_{1.8} 1.7 < \log_{1.8} 1.8 $.

Поскольку $ \log_{1.8} 1.8 = 1 $, мы получаем, что $ \log_{1.8} 1.7 < 1 $.

Итак, мы имеем $ \log_{1.7} 1.8 > 1 $ и $ \log_{1.8} 1.7 < 1 $. Следовательно, первое число больше второго.

Ответ: $ \log_{1.7} 1.8 > \log_{1.8} 1.7 $

2) Сравнить $ \log_{0.2} 0.3 $ и $ \log_{0.3} 0.2 $

Аналогично первому пункту, сравним каждое из чисел с единицей.

Рассмотрим первое число: $ \log_{0.2} 0.3 $.

Основание логарифма $ a = 0.2 $. Так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{0.2} x $ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргумент $ 0.3 $ с основанием $ 0.2 $. Так как $ 0.3 > 0.2 $, то $ \log_{0.2} 0.3 < \log_{0.2} 0.2 $.

Поскольку $ \log_{0.2} 0.2 = 1 $, мы получаем, что $ \log_{0.2} 0.3 < 1 $.

Рассмотрим второе число: $ \log_{0.3} 0.2 $.

Основание логарифма $ a = 0.3 $. Так как $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{0.3} x $ также является убывающей.

Сравним аргумент $ 0.2 $ с основанием $ 0.3 $. Так как $ 0.2 < 0.3 $, то $ \log_{0.3} 0.2 > \log_{0.3} 0.3 $.

Поскольку $ \log_{0.3} 0.3 = 1 $, мы получаем, что $ \log_{0.3} 0.2 > 1 $.

Итак, мы имеем $ \log_{0.2} 0.3 < 1 $ и $ \log_{0.3} 0.2 > 1 $. Следовательно, первое число меньше второго.

Ответ: $ \log_{0.2} 0.3 < \log_{0.3} 0.2 $