Номер 5.21, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.21, страница 42.

5.21. Сравните:

1) $\log_4 5$ и $\log_5 4$;

2) $\log_{1.5} 1.3$ и $\log_{1.3} 1.5$;

3) $\log_{0.7} 0.8$ и $\log_{0.8} 0.7$;

4) $\log_{0.2} 0.1$ и $\log_{0.1} 0.2$.

1) Сравните $\log_{4} 5$ и $\log_{5} 4$

Для сравнения этих двух логарифмов мы сравним каждый из них с единицей, используя свойства логарифмической функции $y = \log_a x$.

Рассмотрим первый логарифм: $\log_{4} 5$.
Основание логарифмической функции $a=4$, что больше 1 ($a > 1$). Логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Аргумент логарифма $x=5$, что больше основания ($5 > 4$).
Следовательно, $\log_{4} 5 > \log_{4} 4 = 1$.

Рассмотрим второй логарифм: $\log_{5} 4$.
Основание логарифмической функции $a=5$, что больше 1 ($a > 1$). Эта функция также является возрастающей.
Аргумент логарифма $x=4$, что меньше основания ($4 < 5$).
Следовательно, $\log_{5} 4 < \log_{5} 5 = 1$.

Так как $\log_{4} 5 > 1$, а $\log_{5} 4 < 1$, то мы можем заключить, что $\log_{4} 5 > \log_{5} 4$.

Ответ: $\log_{4} 5 > \log_{5} 4$.

2) Сравните $\log_{1,5} 1,3$ и $\log_{1,3} 1,5$

Сравним каждое из выражений с 1, используя свойства логарифмической функции.

Рассмотрим $\log_{1,5} 1,3$.
Основание $a=1,5 > 1$. Функция $y=\log_{1,5}x$ является возрастающей.
Поскольку аргумент $1,3$ меньше основания $1,5$, то значение логарифма будет меньше 1.
То есть, $\log_{1,5} 1,3 < \log_{1,5} 1,5 = 1$.

Рассмотрим $\log_{1,3} 1,5$.
Основание $a=1,3 > 1$. Функция $y=\log_{1,3}x$ является возрастающей.
Поскольку аргумент $1,5$ больше основания $1,3$, то значение логарифма будет больше 1.
То есть, $\log_{1,3} 1,5 > \log_{1,3} 1,3 = 1$.

Поскольку $\log_{1,5} 1,3 < 1$ и $\log_{1,3} 1,5 > 1$, мы можем заключить, что $\log_{1,5} 1,3 < \log_{1,3} 1,5$.

Ответ: $\log_{1,5} 1,3 < \log_{1,3} 1,5$.

3) Сравните $\log_{0,7} 0,8$ и $\log_{0,8} 0,7$

Для сравнения используем свойство монотонности логарифмической функции и сравним каждое значение с 1.

Рассмотрим $\log_{0,7} 0,8$.
Основание $a=0,7$, что находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Аргумент $0,8$ больше основания $0,7$.
Так как функция убывающая, то из $0,8 > 0,7$ следует, что $\log_{0,7} 0,8 < \log_{0,7} 0,7 = 1$.

Рассмотрим $\log_{0,8} 0,7$.
Основание $a=0,8$, что также находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей.
Аргумент $0,7$ меньше основания $0,8$.
Так как функция убывающая, то из $0,7 < 0,8$ следует, что $\log_{0,8} 0,7 > \log_{0,8} 0,8 = 1$.

Следовательно, так как $\log_{0,7} 0,8 < 1$ и $\log_{0,8} 0,7 > 1$, то $\log_{0,7} 0,8 < \log_{0,8} 0,7$.

Ответ: $\log_{0,7} 0,8 < \log_{0,8} 0,7$.

4) Сравните $\log_{0,2} 0,1$ и $\log_{0,1} 0,2$

Сравним каждое из выражений с единицей, опираясь на свойства логарифмов.

Рассмотрим $\log_{0,2} 0,1$.
Основание $a=0,2$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция $y=\log_{0,2}x$ является убывающей.
Аргумент $0,1$ меньше основания $0,2$.
Из-за убывания функции, из неравенства $0,1 < 0,2$ следует, что $\log_{0,2} 0,1 > \log_{0,2} 0,2 = 1$.

Рассмотрим $\log_{0,1} 0,2$.
Основание $a=0,1$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция $y=\log_{0,1}x$ является убывающей.
Аргумент $0,2$ больше основания $0,1$.
Из-за убывания функции, из неравенства $0,2 > 0,1$ следует, что $\log_{0,1} 0,2 < \log_{0,1} 0,1 = 1$.

Таким образом, мы имеем $\log_{0,2} 0,1 > 1$ и $\log_{0,1} 0,2 < 1$. Отсюда следует, что $\log_{0,2} 0,1 > \log_{0,1} 0,2$.

Ответ: $\log_{0,2} 0,1 > \log_{0,1} 0,2$.