Номер 5.23, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.23, страница 43.

5.23. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{1}{\lg x}$;

2) $f(x) = \frac{4}{\log_{5}(10 - x)}$;

3) $f(x) = \log_{2} \cos x$;

4) $f(x) = \log_{3} \operatorname{tg} x$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{1}{\lg x}$ находится из следующих условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для десятичного логарифма $\lg x$ это означает, что $x > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Это означает, что $\lg x \neq 0$.

Чтобы найти значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решим уравнение $\lg x = 0$. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $x = 10^0$, откуда получаем $x = 1$.

Следовательно, необходимо исключить значение $x = 1$.

Объединяя оба условия, $x > 0$ и $x \neq 1$, получаем область определения функции.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{4}{\log_5(10 - x)}$ находится из следующих условий:

1. Аргумент логарифма $\log_5(10 - x)$ должен быть строго положительным: $10 - x > 0$. Решая это неравенство, получаем $x < 10$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_5(10 - x) \neq 0$.

Решим уравнение $\log_5(10 - x) = 0$. По определению логарифма, это эквивалентно $10 - x = 5^0$, то есть $10 - x = 1$. Отсюда находим $x = 9$.

Следовательно, необходимо исключить значение $x = 9$.

Объединяя оба условия, $x < 10$ и $x \neq 9$, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-\infty; 9) \cup (9; 10)$.

3) Область определения функции $f(x) = \log_2 \cos x$ определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\cos x > 0$.

Функция косинуса положительна в I и IV координатных четвертях. Решением неравенства является совокупность интервалов. Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение можно записать в виде:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z - множество целых чисел).

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $f(x) = \log_3 \tg x$ определяется двумя условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\tg x > 0$.

2. Сам тангенс должен быть определен, то есть $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\tg x > 0$ выполняется, когда $x$ находится в I или III координатной четверти. Это соответствует интервалам, где синус и косинус имеют одинаковые знаки.

Решением неравенства $\tg x > 0$ является объединение интервалов. Учитывая периодичность тангенса (период $\pi$), общее решение можно записать в виде:

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих интервалах условие $\cos x \neq 0$ выполняется автоматически.

Ответ: $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.