Номер 5.29, страница 43 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.29, страница 43.

5.29. Определите графически количество корней уравнения:

1) $\log_2 x = -x$;

2) $\log_3 x = -x^2$;

3) $\log_{\frac{1}{2}} x = \sqrt{x}$.

Для определения количества корней уравнения графическим методом необходимо представить левую и правую части уравнения в виде отдельных функций, построить их графики в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения равно количеству корней уравнения.

1) $\log_2 x = -x$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = -x$.

Функция $y_1 = \log_2 x$ — это логарифмическая функция. Ее область определения $x > 0$. Функция возрастает на всей области определения. График проходит через точку $(1, 0)$.

Функция $y_2 = -x$ — это линейная функция. Ее график — прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом $-1$. Эта функция убывает на всей своей области определения.

Поскольку одна функция ($y_1$) является строго возрастающей, а другая ($y_2$) — строго убывающей, их графики могут пересечься не более одного раза. Чтобы убедиться, что пересечение есть, можно подставить тестовые значения. При $x=0.5$: $y_1 = \log_2(0.5) = -1$, а $y_2 = -0.5$. Здесь $y_1 < y_2$. При $x=1$: $y_1 = \log_2(1) = 0$, а $y_2 = -1$. Здесь $y_1 > y_2$. Так как функции непрерывны, а соотношение между их значениями меняется, то между $x=0.5$ и $x=1$ существует одна точка пересечения.

Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 корень.

2) $\log_3 x = -x^2$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = -x^2$.

Функция $y_1 = \log_3 x$ — логарифмическая, определена при $x > 0$. Она является возрастающей. График проходит через точку $(1, 0)$.

Функция $y_2 = -x^2$ — квадратичная. Ее график — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Для $x > 0$ эта функция является убывающей.

Как и в предыдущем случае, мы имеем дело с возрастающей ($y_1$) и убывающей ($y_2$ для $x>0$) функциями. Они могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим, есть ли точка пересечения. При $x=1$: $y_1 = \log_3(1) = 0$, а $y_2 = -1^2 = -1$. Здесь $y_1 > y_2$. При $x \to 0^+$: $y_1 = \log_3 x \to -\infty$, а $y_2 = -x^2 \to 0$. Для $x$, достаточно близких к нулю, $y_1 < y_2$. Поскольку обе функции непрерывны для $x > 0$ и соотношение их значений меняется, их графики должны пересечься.

Следовательно, графики функций пересекаются ровно в одной точке.

Ответ: 1 корень.

3) $\log_{\frac{1}{2}} x = \sqrt{x}$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = \sqrt{x}$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая с основанием $a = 1/2 < 1$. Область определения $x>0$. Функция является убывающей на всей области определения. График проходит через точку $(1, 0)$.

Функция $y_2 = \sqrt{x}$ — функция квадратного корня. Область определения $x \ge 0$. Функция является возрастающей на всей области определения. График проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

В этом случае мы имеем убывающую ($y_1$) и возрастающую ($y_2$) функции, которые также могут пересечься не более одного раза. Корень уравнения может существовать только там, где обе функции определены, то есть при $x > 0$. Кроме того, $y_2 = \sqrt{x} \ge 0$, поэтому корень может быть только при условии $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x \ge 0$, что выполняется для $0 < x \le 1$. Проверим значения на границах этого интервала: При $x = 1/4$: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}}(1/4) = 2$, а $y_2 = \sqrt{1/4} = 1/2$. Здесь $y_1 > y_2$. При $x = 1$: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0$, а $y_2 = \sqrt{1} = 1$. Здесь $y_1 < y_2$. Поскольку функции непрерывны и их соотношение меняется на интервале $(1/4, 1)$, они пересекаются в единственной точке внутри этого интервала.

Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 корень.