Номер 5.35, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.35, страница 44.

5.35. Постройте график функции:

1) $y = \left| \log_{\frac{1}{2}} x \right|$;

2) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$;

3) $y = \frac{\left| \log_{0.2} x \right|}{\log_{0.2} x}$;

4) $y = \sqrt{\log_{3}^2 x \log_x 3}$.

1) $y = \left|\log_{\frac{1}{2}} x\right|$
Для построения графика этой функции, мы сначала построим график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$, а затем применим преобразование модуля $y = |y_1|$.
1. Построение графика $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$.
Область определения этой функции: $x > 0$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$, следовательно, функция является убывающей.
График проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$.
Найдем еще несколько точек:
- при $x = 2$, $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$.
- при $x = 4$, $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.
- при $x = \frac{1}{2}$, $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.
Ось $y$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
2. Применение модуля: $y = |\log_{\frac{1}{2}} x|$.
Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика $f(x)$, которая находится ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), симметрично отражается относительно этой оси, а часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.
Для функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$:
- При $0 < x \le 1$, значения $y_1 \ge 0$. Эта часть графика не меняется.
- При $x > 1$, значения $y_1 < 0$. Эта часть графика отражается симметрично относительно оси $x$. Например, точка $(2, -1)$ переходит в $(2, 1)$, а точка $(4, -2)$ — в $(4, 2)$.
В результате получается график, который совпадает с графиком $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ на интервале $(0, 1]$ и с графиком $y = -\log_{\frac{1}{2}} x = \log_2 x$ на интервале $(1, +\infty)$.
Ответ: График функции расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Он проходит через точку $(1, 0)$, где имеет излом. На интервале $(0, 1]$ график совпадает с графиком убывающей функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. На интервале $(1, +\infty)$ график совпадает с графиком возрастающей функции $y = \log_2 x$.

2) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$
1. Область определения.
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $|x| > 0$. Это выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, область определения функции: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Симметрия.
Функция является четной, так как $y(-x) = \log_{\frac{1}{2}} |-x| = \log_{\frac{1}{2}} |x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси $y$).
3. Построение графика.
Достаточно построить график для $x > 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси $y$.
При $x > 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. Это стандартная убывающая логарифмическая функция, как в пункте 1. График проходит через точки $(1, 0)$, $(\frac{1}{2}, 1)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.
Теперь отражаем эту часть графика относительно оси $y$, чтобы получить часть для $x < 0$. Точка $(1, 0)$ отразится в $(-1, 0)$, точка $(\frac{1}{2}, 1)$ в $(-\frac{1}{2}, 1)$, точка $(2, -1)$ в $(-2, -1)$ и так далее.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $y$. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой для обеих ветвей. Правая ветвь ($x>0$) является графиком функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. Левая ветвь ($x<0$) является ее зеркальным отражением относительно оси $y$.

3) $y = \frac{|\log_{0.2} x|}{\log_{0.2} x}$
1. Анализ функции.
Данное выражение представляет собой функцию знака (сигнус) от $\log_{0.2} x$. Напомним, что $\frac{|a|}{a} = 1$, если $a > 0$, и $\frac{|a|}{a} = -1$, если $a < 0$.
2. Область определения.
- Аргумент логарифма: $x > 0$.
- Знаменатель не равен нулю: $\log_{0.2} x \neq 0$, что означает $x \neq 0.2^0 = 1$.
Итак, область определения: $(0, 1) \cup (1, +\infty)$.
3. Построение графика.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\log_{0.2} x$. Основание логарифма $0.2 < 1$, поэтому функция $f(x) = \log_{0.2} x$ является убывающей.
- Случай 1: $\log_{0.2} x > 0$. Это неравенство выполняется, когда $0 < x < 1$. В этом случае $|\log_{0.2} x| = \log_{0.2} x$, и функция принимает вид $y = \frac{\log_{0.2} x}{\log_{0.2} x} = 1$.
- Случай 2: $\log_{0.2} x < 0$. Это неравенство выполняется, когда $x > 1$. В этом случае $|\log_{0.2} x| = -\log_{0.2} x$, и функция принимает вид $y = \frac{-\log_{0.2} x}{\log_{0.2} x} = -1$.
Таким образом, график состоит из двух частей.
Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей. На интервале $(0, 1)$ это горизонтальная линия $y=1$. На интервале $(1, +\infty)$ это горизонтальная линия $y=-1$. Точки с абсциссой $x=1$ выколоты, так как функция в них не определена.

4) $y = \sqrt{\log_{\frac{2}{3}}^2 x \log_x 3}$
1. Область определения (ОДЗ).
- Из $\log_x 3$ следует, что $x > 0$ и $x \neq 1$.
- Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_{\frac{2}{3}}^2 x \cdot \log_x 3 \ge 0$.
Так как $\log_{\frac{2}{3}}^2 x \ge 0$ для всех $x$ из его области определения, неравенство сводится к $\log_x 3 \ge 0$.
- Если $x > 1$ (основание больше 1), то функция $\log_x t$ возрастающая. $\log_x 3 \ge \log_x 1 = 0$, что верно, так как $3 \ge 1$.
- Если $0 < x < 1$ (основание меньше 1), то функция $\log_x t$ убывающая. Из $\log_x 3 \ge \log_x 1 = 0$ следует $3 \le 1$, что неверно.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.
2. Упрощение функции.
На ОДЗ ($x > 1$) преобразуем выражение:
$y = \sqrt{(\log_{\frac{2}{3}} x)^2 \cdot \log_x 3} = |\log_{\frac{2}{3}} x| \cdot \sqrt{\log_x 3}$.
Поскольку $x > 1$, а основание $\frac{2}{3} < 1$, то $\log_{\frac{2}{3}} x < 0$. Следовательно, $|\log_{\frac{2}{3}} x| = -\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{(\frac{2}{3})^{-1}} x = \log_{\frac{3}{2}} x$.
Функция принимает вид: $y = (\log_{\frac{3}{2}} x) \cdot \sqrt{\log_x 3}$.
Используем формулу перехода к новому основанию для $\log_x 3 = \frac{\log_{3/2} 3}{\log_{3/2} x}$.
$y = (\log_{\frac{3}{2}} x) \cdot \sqrt{\frac{\log_{3/2} 3}{\log_{3/2} x}} = (\log_{\frac{3}{2}} x) \cdot \frac{\sqrt{\log_{3/2} 3}}{\sqrt{\log_{3/2} x}} = \sqrt{\log_{\frac{3}{2}} x} \cdot \sqrt{\log_{\frac{3}{2}} 3}$.
Итоговая упрощенная функция: $y = \sqrt{(\log_{\frac{3}{2}} 3) \cdot (\log_{\frac{3}{2}} x)}$.
3. Построение графика.
Константа $C = \log_{\frac{3}{2}} 3$ положительна ($C \approx 2.71$). Функция имеет вид $y = \sqrt{C \cdot \log_{\frac{3}{2}} x}$.
- Область определения $x > 1$.
- При $x \to 1^+$, $\log_{\frac{3}{2}} x \to 0^+$, следовательно $y \to 0$. График начинается в точке $(1, 0)$ (точка выколота).
- Так как основание $\frac{3}{2} > 1$, функция $\log_{\frac{3}{2}} x$ возрастает. Корень квадратный из возрастающей функции также является возрастающей функцией.
- При $x \to +\infty$, $\log_{\frac{3}{2}} x \to +\infty$, и $y \to +\infty$.
Ответ: График функции представляет собой кривую, расположенную в первом квадранте. Он начинается из точки $(1, 0)$ (которая не принадлежит графику) и является монотонно возрастающим и вогнутым вниз. Он похож на график функции "квадратный корень", но растянутый по оси абсцисс.