Номер 6.1, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.1, страница 49.

6.1. Решите уравнение:

1) $log_2 (x - 1) = 1;$

2) $log_3 (2x + 1) = 3;$

3) $lg (3 - 2x) = 2;$

4) $log_{\frac{1}{6}} (4x - 8) = -2;$

5) $log_7 (x^2 - 2x - 8) = 1;$

6) $log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 4x - 5) = -4.$

1) Решим уравнение $ \log_2(x - 1) = 1 $.

Логарифм определен, если его аргумент строго больше нуля. Поэтому область допустимых значений (ОДЗ) определяется неравенством:
$ x - 1 > 0 $
$ x > 1 $

По определению логарифма, если $ \log_b a = c $, то $ a = b^c $. Применим это к нашему уравнению:
$ x - 1 = 2^1 $
$ x - 1 = 2 $
$ x = 2 + 1 $
$ x = 3 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 3 > 1 $, корень подходит.
Ответ: 3.

2) Решим уравнение $ \log_3(2x + 1) = 3 $.

ОДЗ:
$ 2x + 1 > 0 $
$ 2x > -1 $
$ x > -\frac{1}{2} $

По определению логарифма:
$ 2x + 1 = 3^3 $
$ 2x + 1 = 27 $
$ 2x = 26 $
$ x = 13 $

Проверяем ОДЗ: $ 13 > -1/2 $. Корень подходит.
Ответ: 13.

3) Решим уравнение $ \lg(3 - 2x) = 2 $.

Напомним, что $ \lg $ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $ \log_{10}(3 - 2x) = 2 $.
ОДЗ:
$ 3 - 2x > 0 $
$ 3 > 2x $
$ x < \frac{3}{2} $ или $ x < 1.5 $

По определению логарифма:
$ 3 - 2x = 10^2 $
$ 3 - 2x = 100 $
$ -2x = 100 - 3 $
$ -2x = 97 $
$ x = -\frac{97}{2} = -48.5 $

Проверяем ОДЗ: $ -48.5 < 1.5 $. Корень подходит.
Ответ: -48.5.

4) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{6}}(4x - 8) = -2 $.

ОДЗ:
$ 4x - 8 > 0 $
$ 4x > 8 $
$ x > 2 $

По определению логарифма:
$ 4x - 8 = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} $
$ 4x - 8 = 6^2 $
$ 4x - 8 = 36 $
$ 4x = 44 $
$ x = 11 $

Проверяем ОДЗ: $ 11 > 2 $. Корень подходит.
Ответ: 11.

5) Решим уравнение $ \log_7(x^2 - 2x - 8) = 1 $.

ОДЗ:
$ x^2 - 2x - 8 > 0 $
Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 2x - 8 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty) $.

По определению логарифма:
$ x^2 - 2x - 8 = 7^1 $
$ x^2 - 2x - 8 = 7 $
$ x^2 - 2x - 15 = 0 $
Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = 2 $
$ x_1 \cdot x_2 = -15 $
Корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -3 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ:
$ x_1 = 5 $. $ 5 > 4 $, корень подходит.
$ x_2 = -3 $. $ -3 < -2 $, корень подходит.
Ответ: -3; 5.

6) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x - 5) = -4 $.

ОДЗ:
$ x^2 + 4x - 5 > 0 $
Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 + 4x - 5 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -5 $. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty) $.

По определению логарифма:
$ x^2 + 4x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} $
$ x^2 + 4x - 5 = 2^4 $
$ x^2 + 4x - 5 = 16 $
$ x^2 + 4x - 21 = 0 $
Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = -4 $
$ x_1 \cdot x_2 = -21 $
Корни: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -7 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ:
$ x_1 = 3 $. $ 3 > 1 $, корень подходит.
$ x_2 = -7 $. $ -7 < -5 $, корень подходит.
Ответ: -7; 3.