Номер 6.4, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.4, страница 49.

6.4. Решите уравнение:

1) $\log_9 (4x - 6) = \log_9 (x - 2)$;

2) $\log_{\frac{1}{4}} (x + 7) = \log_{\frac{1}{4}} (x^2 + 5)$.

1)

Дано логарифмическое уравнение $\log_9(4x - 6) = \log_9(x - 2)$.

Уравнение вида $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$ равносильно системе, в которой аргументы логарифмов равны, а также положительны:

$\begin{cases} 4x - 6 = x - 2 \\ 4x - 6 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Так как из первого уравнения следует, что $4x - 6 = x - 2$, то достаточно проверить выполнение только одного из двух неравенств. Выберем более простое: $x - 2 > 0$.

Получаем систему:

$\begin{cases} 4x - 6 = x - 2 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$4x - x = 6 - 2$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = \frac{4}{3}$ условию области допустимых значений $x - 2 > 0$.

Подставим значение $x$ в неравенство:

$\frac{4}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}$

Поскольку $-\frac{2}{3} < 0$, условие $x - 2 > 0$ не выполняется. Следовательно, корень $x = \frac{4}{3}$ является посторонним, и уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

2)

Дано логарифмическое уравнение $\log_{\frac{1}{4}}(x + 7) = \log_{\frac{1}{4}}(x^2 + 5)$.

Как и в предыдущем случае, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 7 = x^2 + 5 \\ x + 7 > 0 \\ x^2 + 5 > 0 \end{cases}$

Рассмотрим область допустимых значений. Неравенство $x^2 + 5 > 0$ выполняется для любого действительного $x$, поскольку $x^2 \ge 0$ и, соответственно, $x^2 + 5 \ge 5$. Из неравенства $x + 7 > 0$ следует, что $x > -7$.

Теперь решим основное уравнение:

$x + 7 = x^2 + 5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x + 5 - 7 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x > -7$.

Для $x_1 = 2$: $2 > -7$. Корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-1 > -7$. Корень также подходит.

Оба корня принадлежат области допустимых значений, следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -1; 2.