Номер 6.9, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.9, страница 49.

6.9. Решите уравнение:

1) $\lg (x^2 - 2x) = \lg (2x + 12);$

2) $\log_4 (x - 1) = \log_4 (x^2 - x - 16);$

3) $\log_{0.5} (x^2 + 3x - 10) = \log_{0.5} (x - 2);$

4) $\log_6 (x^2 - x - 2) = \log_6 (2 - x);$

5) $2\log_{0.4} x = \log_{0.4} (2x^2 - x);$

6) $2\log_7 (-x) = \log_7 (x + 2);$

7) $2\log_8 (1 - x) = \log_8 (2.5x + 1);$

8) $2\log_3 x = 1 + \log_3 (x + 6).$

1) Уравнение $\lg(x^2 - 2x) = \lg(2x + 12)$ равносильно системе, состоящей из равенства подлогарифмических выражений и условия положительности одного из них (проще выбрать линейное выражение).
$\begin{cases} x^2 - 2x = 2x + 12 \\ 2x + 12 > 0 \end{cases}$
Из второго условия (область допустимых значений, ОДЗ) получаем: $2x > -12 \implies x > -6$.
Решаем первое уравнение: $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Проверяем оба корня на соответствие ОДЗ ($x > -6$):
$x_1 = 6$ подходит ($6 > -6$).
$x_2 = -2$ подходит ($-2 > -6$).
Оба корня являются решениями.
Ответ: $-2; 6$.

2) Уравнение $\log_4(x - 1) = \log_4(x^2 - x - 16)$ равносильно системе:
$\begin{cases} x - 1 = x^2 - x - 16 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$
Из ОДЗ ($x - 1 > 0$) следует, что $x > 1$.
Решаем уравнение: $x^2 - 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Проверяем корни: $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x > 1$, а $x_2 = -3$ не удовлетворяет.
Ответ: $5$.

3) Уравнение $\log_{0,5}(x^2 + 3x - 10) = \log_{0,5}(x - 2)$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 = x - 2 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$
Из ОДЗ ($x - 2 > 0$) следует, что $x > 2$.
Решаем уравнение: $x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Ни один из корней не удовлетворяет строгому неравенству $x > 2$, поэтому уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

4) Уравнение $\log_6(x^2 - x - 2) = \log_6(2 - x)$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - x - 2 = 2 - x \\ 2 - x > 0 \end{cases}$
Из ОДЗ ($2 - x > 0$) следует, что $x < 2$.
Решаем уравнение: $x^2 - 4 = 0$, откуда $x^2 = 4$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Проверяем корни: $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x < 2$, а $x_2 = -2$ удовлетворяет.
Ответ: $-2$.

5) Для уравнения $2\log_{0,4}x = \log_{0,4}(2x^2 - x)$ найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ 2x^2 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x(2x - 1) > 0 \end{cases} \implies x > 0,5$.
Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$, преобразуем уравнение:
$\log_{0,4}(x^2) = \log_{0,4}(2x^2 - x)$.
Приравнивая аргументы, получаем: $x^2 = 2x^2 - x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.
Корни: $x_1 = 0, x_2 = 1$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ ($x > 0,5$), а корень $x_2 = 1$ удовлетворяет.
Ответ: $1$.

6) Для уравнения $2\log_7(-x) = \log_7(x + 2)$ ОДЗ определяется системой:
$\begin{cases} -x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -2 \end{cases} \implies -2 < x < 0$.
Преобразуем уравнение: $\log_7((-x)^2) = \log_7(x + 2) \implies \log_7(x^2) = \log_7(x + 2)$.
Отсюда $x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, а корень $x_2 = -1$ входит.
Ответ: $-1$.

7) Для уравнения $2\log_8(1 - x) = \log_8(2,5x + 1)$ ОДЗ определяется системой:
$\begin{cases} 1 - x > 0 \\ 2,5x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x > -0,4 \end{cases} \implies -0,4 < x < 1$.
Преобразуем уравнение: $\log_8((1 - x)^2) = \log_8(2,5x + 1)$.
Отсюда $(1 - x)^2 = 2,5x + 1 \implies 1 - 2x + x^2 = 2,5x + 1$.
$x^2 - 4,5x = 0 \implies x(x - 4,5) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4,5$.
Корень $x_1 = 0$ принадлежит ОДЗ, а корень $x_2 = 4,5$ не принадлежит.
Ответ: $0$.

8) Для уравнения $2\log_3 x = 1 + \log_3(x + 6)$ ОДЗ определяется системой:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases} \implies x > 0$.
Представим $1$ как $\log_3 3$ и применим свойства логарифмов:
$2\log_3 x = \log_3 3 + \log_3(x + 6)$
$\log_3(x^2) = \log_3(3(x+6))$.
Приравниваем аргументы: $x^2 = 3x + 18 \implies x^2 - 3x - 18 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), а корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет.
Ответ: $6$.