Номер 6.11, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.11, страница 50.

6.11. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{2}\log_6 (5x + 1) = \log_6 (x - 1)$;

2) $\log_5 (25^x - 2 \cdot 5^x) = 2\log_{25} 15$;

3) $\log_{\sqrt{5}} (16^x - 6) = 2 + \log_{\sqrt{5}} (4^x - 2)$;

4) $x\lg 3 - 1 = 2\lg 3 - \lg (3^x + 1)$.

1)Исходное уравнение: $\frac{1}{2}\log_6 (5x + 1) = \log_6 (x - 1)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$ \begin{cases} 5x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $$ \begin{cases} 5x > -1 \\ x > 1 \end{cases} $$ \begin{cases} x > -1/5 \\ x > 1 \end{cases} $Следовательно, ОДЗ: $x > 1$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:$\log_6 ((5x + 1)^{1/2}) = \log_6 (x - 1)$$\log_6 \sqrt{5x + 1} = \log_6 (x - 1)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:$\sqrt{5x + 1} = x - 1$
Поскольку из ОДЗ $x > 1$, обе части уравнения неотрицательны. Возводим обе части в квадрат:$5x + 1 = (x - 1)^2$$5x + 1 = x^2 - 2x + 1$$x^2 - 2x - 5x + 1 - 1 = 0$$x^2 - 7x = 0$$x(x - 7) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 1$, следовательно, это посторонний корень.$x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 > 1$.
Ответ: $7$

2)Исходное уравнение: $\log_5 (25^x - 2 \cdot 5^x) = 2\log_{25} 15$.
Найдем ОДЗ:$25^x - 2 \cdot 5^x > 0$$(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x > 0$$5^x(5^x - 2) > 0$
Так как $5^x > 0$ для любого $x$, то неравенство сводится к:$5^x - 2 > 0 \implies 5^x > 2 \implies x > \log_5 2$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:$2\log_{25} 15 = 2\log_{5^2} 15 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 15 = \log_5 15$.
Уравнение принимает вид:$\log_5 (25^x - 2 \cdot 5^x) = \log_5 15$
Приравниваем аргументы логарифмов:$25^x - 2 \cdot 5^x = 15$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$:$t^2 - 2t - 15 = 0$
Решаем квадратное уравнение по теореме Виета:$t_1 + t_2 = 2$$t_1 \cdot t_2 = -15$
Корни: $t_1 = 5$, $t_2 = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не подходит, так как $t = 5^x > 0$.Возвращаемся к замене с $t_1 = 5$:$5^x = 5 \implies x = 1$.
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > \log_5 2$):$1 > \log_5 2$, так как $1 = \log_5 5$, а $5 > 2$. Корень подходит.
Ответ: $1$

3)Исходное уравнение: $\log_{\sqrt{5}} (16^x - 6) = 2 + \log_{\sqrt{5}} (4^x - 2)$.
Найдем ОДЗ:$ \begin{cases} 16^x - 6 > 0 \\ 4^x - 2 > 0 \end{cases} $$ \begin{cases} (4^x)^2 > 6 \\ 4^x > 2 \end{cases} $$ \begin{cases} 4^x > \sqrt{6} \\ 4^x > 2 \end{cases} $
Так как $\sqrt{6} \approx 2.45 > 2$, то более сильным является первое неравенство. ОДЗ: $4^x > \sqrt{6}$.
Перенесем логарифм в левую часть и представим 2 в виде логарифма по основанию $\sqrt{5}$:$\log_{\sqrt{5}} (16^x - 6) - \log_{\sqrt{5}} (4^x - 2) = 2$
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$:$\log_{\sqrt{5}} \left(\frac{16^x - 6}{4^x - 2}\right) = 2$
По определению логарифма:$\frac{16^x - 6}{4^x - 2} = (\sqrt{5})^2$$\frac{16^x - 6}{4^x - 2} = 5$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$, где из ОДЗ $t > \sqrt{6}$:$\frac{t^2 - 6}{t - 2} = 5$
$t^2 - 6 = 5(t - 2)$$t^2 - 6 = 5t - 10$$t^2 - 5t + 4 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.
Возвращаемся к замене:1) $4^x = 1 \implies x = 0$.2) $4^x = 4 \implies x = 1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($4^x > \sqrt{6}$):Для $x=0$, $4^0 = 1$. Неравенство $1 > \sqrt{6}$ ложно. Корень не подходит.Для $x=1$, $4^1 = 4$. Неравенство $4 > \sqrt{6}$ истинно, так как $16 > 6$. Корень подходит.
Ответ: $1$

4)Исходное уравнение: $x\lg 3 - 1 = 2\lg 3 - \lg(3^x + 1)$.
Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен:$3^x + 1 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $3^x > 0$.
Перенесем все члены с логарифмами в одну сторону, а остальные в другую:$x\lg 3 + \lg(3^x + 1) = 2\lg 3 + 1$
Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$ и представим $1$ как $\lg 10$:$\lg(3^x) + \lg(3^x + 1) = \lg(3^2) + \lg 10$
Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:$\lg(3^x(3^x + 1)) = \lg(9 \cdot 10)$$\lg(3^x(3^x + 1)) = \lg(90)$
Приравниваем аргументы логарифмов:$3^x(3^x + 1) = 90$
Сделаем замену. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$:$t(t + 1) = 90$$t^2 + t - 90 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета:$t_1 + t_2 = -1$$t_1 \cdot t_2 = -90$
Корни: $t_1 = 9$, $t_2 = -10$.
Корень $t_2 = -10$ не подходит, так как $t = 3^x > 0$.Возвращаемся к замене с $t_1 = 9$:$3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.
Корень $x=2$ принадлежит ОДЗ (все действительные числа).
Ответ: $2$