Номер 6.6, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.6, страница 49.
№6.6 (с. 49)
Учебник. №6.6 (с. 49)
скриншот условия

6.6. Решите уравнение:
1) $\log_3 \frac{1}{x} + \log_3 \sqrt[3]{x} = \frac{4}{3};$
2) $\log_5 x - \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4};$
3) $\lg \lg \lg x = 0.$
Решение. №6.6 (с. 49)

Решение 2. №6.6 (с. 49)
1) $\log_{3} \frac{1}{x} + \log_{3} \sqrt[3]{x} = \frac{4}{3}$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.
Используем свойства логарифмов: $\log_a \frac{1}{b} = \log_a (b^{-1}) = -\log_a b$ и $\log_a \sqrt[n]{b} = \log_a (b^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \log_a b$.
Преобразуем левую часть уравнения:
$\log_{3} (x^{-1}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{4}{3}$
$-1 \cdot \log_{3} x + \frac{1}{3} \log_{3} x = \frac{4}{3}$
Сделаем замену $y = \log_{3} x$:
$-y + \frac{1}{3} y = \frac{4}{3}$
$-\frac{2}{3} y = \frac{4}{3}$
Умножим обе части уравнения на $-\frac{3}{2}$:
$y = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -2$
Вернемся к исходной переменной:
$\log_{3} x = -2$
По определению логарифма ($x = a^b \iff \log_a x = b$):
$x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Полученное значение $x = \frac{1}{9}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $\frac{1}{9}$
2) $\log_{5} x - \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 5, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
Заметим, что $25 = 5^2$ и $625 = 5^4$. Тогда:
$\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_{5} x$
$\log_{625} x = \log_{5^4} x = \frac{1}{4} \log_{5} x$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\log_{5} x - \frac{1}{2} \log_{5} x + \frac{1}{4} \log_{5} x = \frac{3}{4}$
Вынесем общий множитель $\log_{5} x$ за скобки:
$\log_{5} x \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$
Выполним действия в скобках:
$\log_{5} x \left(\frac{4-2+1}{4}\right) = \frac{3}{4}$
$\log_{5} x \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$
Разделим обе части на $\frac{3}{4}$:
$\log_{5} x = 1$
По определению логарифма:
$x = 5^1 = 5$
Значение $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $5$
3) $\lg \lg \lg x = 0$
Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм ($\log_{10}$). Уравнение имеет вид $\log_{10}(\log_{10}(\log_{10} x)) = 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть положительным:
1. Из $\lg x$: $x > 0$.
2. Из $\lg(\lg x)$: $\lg x > 0$. Так как $0 = \lg 1$, то $\lg x > \lg 1$, откуда $x > 1$.
3. Из $\lg(\lg(\lg x))$: $\lg(\lg x) > 0$. Так как $0 = \lg 1$, то $\lg(\lg x) > \lg 1$, откуда $\lg x > 1$. Так как $1 = \lg 10$, то $\lg x > \lg 10$, откуда $x > 10$.
Объединяя все условия ($x>0, x>1, x>10$), получаем итоговую ОДЗ: $x > 10$.
Решаем уравнение, последовательно "раскрывая" логарифмы по определению ($b = a^c \iff \log_a b = c$).
$\log_{10}(\log_{10}(\log_{10} x)) = 0$
Аргумент внешнего логарифма равен $10^0$:
$\log_{10}(\log_{10} x) = 10^0 = 1$
Теперь решаем уравнение $\log_{10}(\log_{10} x) = 1$.
$\log_{10} x = 10^1 = 10$
И, наконец, решаем $\log_{10} x = 10$.
$x = 10^{10}$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $10^{10}$ очевидно больше $10$, корень подходит.
Ответ: $10^{10}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.6 расположенного на странице 49 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.6 (с. 49), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.