Номер 6.6, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 6. Логарифмические уравнения. Упражнения - номер 6.6, страница 49.

Учебник.

6.6. Решите уравнение:

1) $\log_3 \frac{1}{x} + \log_3 \sqrt[3]{x} = \frac{4}{3};$

2) $\log_5 x - \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4};$

3) $\lg \lg \lg x = 0.$

Решение.

Решение 2.

1) $\log_{3} \frac{1}{x} + \log_{3} \sqrt[3]{x} = \frac{4}{3}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

Используем свойства логарифмов: $\log_a \frac{1}{b} = \log_a (b^{-1}) = -\log_a b$ и $\log_a \sqrt[n]{b} = \log_a (b^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \log_a b$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$\log_{3} (x^{-1}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{4}{3}$

$-1 \cdot \log_{3} x + \frac{1}{3} \log_{3} x = \frac{4}{3}$

Сделаем замену $y = \log_{3} x$:

$-y + \frac{1}{3} y = \frac{4}{3}$

$-\frac{2}{3} y = \frac{4}{3}$

Умножим обе части уравнения на $-\frac{3}{2}$:

$y = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -2$

Вернемся к исходной переменной:

$\log_{3} x = -2$

По определению логарифма ($x = a^b \iff \log_a x = b$):

$x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Полученное значение $x = \frac{1}{9}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) $\log_{5} x - \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 5, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Заметим, что $25 = 5^2$ и $625 = 5^4$. Тогда:

$\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_{5} x$

$\log_{625} x = \log_{5^4} x = \frac{1}{4} \log_{5} x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\log_{5} x - \frac{1}{2} \log_{5} x + \frac{1}{4} \log_{5} x = \frac{3}{4}$

Вынесем общий множитель $\log_{5} x$ за скобки:

$\log_{5} x \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$

Выполним действия в скобках:

$\log_{5} x \left(\frac{4-2+1}{4}\right) = \frac{3}{4}$

$\log_{5} x \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Разделим обе части на $\frac{3}{4}$:

$\log_{5} x = 1$

По определению логарифма:

$x = 5^1 = 5$

Значение $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $5$

3) $\lg \lg \lg x = 0$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм ($\log_{10}$). Уравнение имеет вид $\log_{10}(\log_{10}(\log_{10} x)) = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть положительным:

1. Из $\lg x$: $x > 0$.

2. Из $\lg(\lg x)$: $\lg x > 0$. Так как $0 = \lg 1$, то $\lg x > \lg 1$, откуда $x > 1$.

3. Из $\lg(\lg(\lg x))$: $\lg(\lg x) > 0$. Так как $0 = \lg 1$, то $\lg(\lg x) > \lg 1$, откуда $\lg x > 1$. Так как $1 = \lg 10$, то $\lg x > \lg 10$, откуда $x > 10$.

Объединяя все условия ($x>0, x>1, x>10$), получаем итоговую ОДЗ: $x > 10$.

Решаем уравнение, последовательно "раскрывая" логарифмы по определению ($b = a^c \iff \log_a b = c$).

$\log_{10}(\log_{10}(\log_{10} x)) = 0$

Аргумент внешнего логарифма равен $10^0$:

$\log_{10}(\log_{10} x) = 10^0 = 1$

Теперь решаем уравнение $\log_{10}(\log_{10} x) = 1$.

$\log_{10} x = 10^1 = 10$

И, наконец, решаем $\log_{10} x = 10$.

$x = 10^{10}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $10^{10}$ очевидно больше $10$, корень подходит.

Ответ: $10^{10}$