Страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.1. Решите уравнение:

1) $log_2 (x - 1) = 1;$

2) $log_3 (2x + 1) = 3;$

3) $lg (3 - 2x) = 2;$

4) $log_{\frac{1}{6}} (4x - 8) = -2;$

5) $log_7 (x^2 - 2x - 8) = 1;$

6) $log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 4x - 5) = -4.$

1) Решим уравнение $ \log_2(x - 1) = 1 $.

Логарифм определен, если его аргумент строго больше нуля. Поэтому область допустимых значений (ОДЗ) определяется неравенством:
$ x - 1 > 0 $
$ x > 1 $

По определению логарифма, если $ \log_b a = c $, то $ a = b^c $. Применим это к нашему уравнению:
$ x - 1 = 2^1 $
$ x - 1 = 2 $
$ x = 2 + 1 $
$ x = 3 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 3 > 1 $, корень подходит.
Ответ: 3.

2) Решим уравнение $ \log_3(2x + 1) = 3 $.

ОДЗ:
$ 2x + 1 > 0 $
$ 2x > -1 $
$ x > -\frac{1}{2} $

По определению логарифма:
$ 2x + 1 = 3^3 $
$ 2x + 1 = 27 $
$ 2x = 26 $
$ x = 13 $

Проверяем ОДЗ: $ 13 > -1/2 $. Корень подходит.
Ответ: 13.

3) Решим уравнение $ \lg(3 - 2x) = 2 $.

Напомним, что $ \lg $ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $ \log_{10}(3 - 2x) = 2 $.
ОДЗ:
$ 3 - 2x > 0 $
$ 3 > 2x $
$ x < \frac{3}{2} $ или $ x < 1.5 $

По определению логарифма:
$ 3 - 2x = 10^2 $
$ 3 - 2x = 100 $
$ -2x = 100 - 3 $
$ -2x = 97 $
$ x = -\frac{97}{2} = -48.5 $

Проверяем ОДЗ: $ -48.5 < 1.5 $. Корень подходит.
Ответ: -48.5.

4) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{6}}(4x - 8) = -2 $.

ОДЗ:
$ 4x - 8 > 0 $
$ 4x > 8 $
$ x > 2 $

По определению логарифма:
$ 4x - 8 = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} $
$ 4x - 8 = 6^2 $
$ 4x - 8 = 36 $
$ 4x = 44 $
$ x = 11 $

Проверяем ОДЗ: $ 11 > 2 $. Корень подходит.
Ответ: 11.

5) Решим уравнение $ \log_7(x^2 - 2x - 8) = 1 $.

ОДЗ:
$ x^2 - 2x - 8 > 0 $
Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 2x - 8 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; -2) \cup (4; +\infty) $.

По определению логарифма:
$ x^2 - 2x - 8 = 7^1 $
$ x^2 - 2x - 8 = 7 $
$ x^2 - 2x - 15 = 0 $
Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = 2 $
$ x_1 \cdot x_2 = -15 $
Корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -3 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ:
$ x_1 = 5 $. $ 5 > 4 $, корень подходит.
$ x_2 = -3 $. $ -3 < -2 $, корень подходит.
Ответ: -3; 5.

6) Решим уравнение $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x - 5) = -4 $.

ОДЗ:
$ x^2 + 4x - 5 > 0 $
Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 + 4x - 5 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -5 $. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; -5) \cup (1; +\infty) $.

По определению логарифма:
$ x^2 + 4x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} $
$ x^2 + 4x - 5 = 2^4 $
$ x^2 + 4x - 5 = 16 $
$ x^2 + 4x - 21 = 0 $
Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = -4 $
$ x_1 \cdot x_2 = -21 $
Корни: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -7 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ:
$ x_1 = 3 $. $ 3 > 1 $, корень подходит.
$ x_2 = -7 $. $ -7 < -5 $, корень подходит.
Ответ: -7; 3.

6.2. Решите уравнение:

1) $log_{\frac{1}{5}} (x + 7) = -3;$

2) $log_4 (2x - 5) = 0,5;$

3) $log_{\sqrt{3}} (x^2 - 5x - 3) = 2;$

4) $log_{\frac{1}{9}} (x^2 - 5x + 6) = -1.$

1) $log_{\frac{1}{5}}(x + 7) = -3$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x + 7 > 0$
$x > -7$

По определению логарифма, если $log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это свойство к нашему уравнению:
$x + 7 = (\frac{1}{5})^{-3}$

Решим полученное уравнение:
$x + 7 = (5^{-1})^{-3} = 5^3$
$x + 7 = 125$
$x = 125 - 7$
$x = 118$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие $x > -7$ выполняется, так как $118 > -7$. Следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $118$.

2) $log_4(2x - 5) = 0,5$

ОДЗ: Выражение под знаком логарифма должно быть положительным.
$2x - 5 > 0$
$2x > 5$
$x > \frac{5}{2}$ или $x > 2,5$

Используем определение логарифма:
$2x - 5 = 4^{0,5}$

Решим уравнение:
$2x - 5 = 4^{\frac{1}{2}}$
$2x - 5 = \sqrt{4}$
$2x - 5 = 2$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3,5$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Условие $x > 2,5$ выполняется, так как $3,5 > 2,5$. Корень подходит.

Ответ: $3,5$.

3) $log_{\sqrt{3}}(x^2 - 5x - 3) = 2$

ОДЗ: $x^2 - 5x - 3 > 0$.
Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{37}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{37}}{2}; +\infty)$.

По определению логарифма:
$x^2 - 5x - 3 = (\sqrt{3})^2$

Решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 5x - 3 = 3$
$x^2 - 5x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Приблизительные значения границ ОДЗ: $\frac{5 - \sqrt{37}}{2} \approx \frac{5 - 6,08}{2} \approx -0,54$ и $\frac{5 + \sqrt{37}}{2} \approx \frac{5 + 6,08}{2} \approx 5,54$.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $x > 5,54$.
Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $x < -0,54$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $-1; 6$.

4) $log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) = -1$

ОДЗ: $x^2 - 5x + 6 > 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - 2)(x - 3) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

По определению логарифма:
$x^2 - 5x + 6 = (\frac{1}{2})^{-1}$

Решим полученное уравнение:
$x^2 - 5x + 6 = 2$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x < 2$.
Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $x > 3$.
Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $1; 4$.

6.3. Решите уравнение:

1) $\log_{\pi} (x + 1) = \log_{\pi} (4x - 5)$;

2) $\log_{5} (3x - 5) = \log_{5} (x - 3)$;

3) $\lg (x^2 + 2) = \lg (3x + 6).$

1) $\log_{\pi}(x+1) = \log_{\pi}(4x-5)$

Это логарифмическое уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения $f(x) = g(x)$ и одного из неравенств $f(x) > 0$ или $g(x) > 0$, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ). Выбираем более простое неравенство для проверки. В данном случае, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x+1 = 4x-5 \\ x+1 > 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$x+1 = 4x-5$

$1+5 = 4x-x$

$6 = 3x$

$x = 2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ неравенству системы, которое задает ОДЗ:

$x+1 > 0$

$2+1 > 0$

$3 > 0$

Неравенство верное, следовательно, корень $x=2$ является решением уравнения. Также можно было бы проверить и второе условие ОДЗ: $4x-5 > 0 \implies 4 \cdot 2 - 5 = 3 > 0$, что тоже верно.

Ответ: $2$.

2) $\log_{5}(3x-5) = \log_{5}(x-3)$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x-5 = x-3 \\ x-3 > 0 \end{cases}$

(Мы выбрали неравенство $x-3 > 0$ для проверки, так как оно проще).

Решим уравнение из системы:

$3x-5 = x-3$

$3x-x = 5-3$

$2x = 2$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ неравенству системы:

$x-3 > 0$

$1-3 > 0$

$-2 > 0$

Полученное неравенство является неверным. Это означает, что корень $x=1$ является посторонним, так как не входит в область допустимых значений исходного логарифмического уравнения.

Ответ: корней нет.

3) $\lg(x^2+2) = \lg(3x+6)$

Данное уравнение (где $\lg$ - десятичный логарифм) равносильно системе:

$\begin{cases} x^2+2 = 3x+6 \\ 3x+6 > 0 \end{cases}$

(Мы не проверяем неравенство $x^2+2>0$, так как оно выполняется для любого действительного числа $x$, поскольку $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+2 \ge 2$).

Решим квадратное уравнение:

$x^2+2 = 3x+6$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Для решения используем теорему Виета. Сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-4$. Отсюда находим корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -1$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни неравенству $3x+6 > 0$, то есть $x > -2$.

Для $x_1 = 4$:

$4 > -2$. Неравенство верное, значит, $x=4$ является корнем.

Для $x_2 = -1$:

$-1 > -2$. Неравенство также верное, значит, $x=-1$ тоже является корнем.

Оба найденных корня входят в область допустимых значений.

Ответ: $-1; 4$.

6.4. Решите уравнение:

1) $\log_9 (4x - 6) = \log_9 (x - 2)$;

2) $\log_{\frac{1}{4}} (x + 7) = \log_{\frac{1}{4}} (x^2 + 5)$.

1)

Дано логарифмическое уравнение $\log_9(4x - 6) = \log_9(x - 2)$.

Уравнение вида $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$ равносильно системе, в которой аргументы логарифмов равны, а также положительны:

$\begin{cases} 4x - 6 = x - 2 \\ 4x - 6 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Так как из первого уравнения следует, что $4x - 6 = x - 2$, то достаточно проверить выполнение только одного из двух неравенств. Выберем более простое: $x - 2 > 0$.

Получаем систему:

$\begin{cases} 4x - 6 = x - 2 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$

Сначала решим уравнение:

$4x - x = 6 - 2$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = \frac{4}{3}$ условию области допустимых значений $x - 2 > 0$.

Подставим значение $x$ в неравенство:

$\frac{4}{3} - 2 = \frac{4}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}$

Поскольку $-\frac{2}{3} < 0$, условие $x - 2 > 0$ не выполняется. Следовательно, корень $x = \frac{4}{3}$ является посторонним, и уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

2)

Дано логарифмическое уравнение $\log_{\frac{1}{4}}(x + 7) = \log_{\frac{1}{4}}(x^2 + 5)$.

Как и в предыдущем случае, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 7 = x^2 + 5 \\ x + 7 > 0 \\ x^2 + 5 > 0 \end{cases}$

Рассмотрим область допустимых значений. Неравенство $x^2 + 5 > 0$ выполняется для любого действительного $x$, поскольку $x^2 \ge 0$ и, соответственно, $x^2 + 5 \ge 5$. Из неравенства $x + 7 > 0$ следует, что $x > -7$.

Теперь решим основное уравнение:

$x + 7 = x^2 + 5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x + 5 - 7 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x > -7$.

Для $x_1 = 2$: $2 > -7$. Корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-1 > -7$. Корень также подходит.

Оба корня принадлежат области допустимых значений, следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -1; 2.

6.5. Решите уравнение:

1) $ \log_2 \sqrt{x} - \log_2 \frac{1}{x} = 6; $

2) $ \log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11; $

3) $ \log_6 x + 2\log_{36} x + 3\log_{216} x = 3; $

4) $ \log_7 \log_4 (x - 2) = 0; $

5) $ \log_4 \log_3 \log_2 x = \frac{1}{2}. $

1) $ \log_{2}{\sqrt{x}} - \log_{2}{\frac{1}{x}} = 6 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.
Используем свойства логарифмов $ \log_{a}{b^c} = c \cdot \log_{a}{b} $ и $ \log_{a}{\frac{1}{b}} = -\log_{a}{b} $.
$ \log_{2}{x^{1/2}} - \log_{2}{x^{-1}} = 6 $
$ \frac{1}{2}\log_{2}{x} - (-1)\log_{2}{x} = 6 $
$ \frac{1}{2}\log_{2}{x} + \log_{2}{x} = 6 $
$ \frac{3}{2}\log_{2}{x} = 6 $
Умножим обе части на $ \frac{2}{3} $:
$ \log_{2}{x} = 6 \cdot \frac{2}{3} $
$ \log_{2}{x} = 4 $
По определению логарифма:
$ x = 2^4 $
$ x = 16 $
Корень $ x = 16 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 16 > 0 $).
Ответ: 16.

2) $ \log_{2}{x} + \log_{4}{x} + \log_{8}{x} = 11 $

ОДЗ: $ x > 0 $.
Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к 2, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_{a}{b} = \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}} $.
$ \log_{4}{x} = \frac{\log_{2}{x}}{\log_{2}{4}} = \frac{\log_{2}{x}}{2} $
$ \log_{8}{x} = \frac{\log_{2}{x}}{\log_{2}{8}} = \frac{\log_{2}{x}}{3} $
Подставим в исходное уравнение:
$ \log_{2}{x} + \frac{1}{2}\log_{2}{x} + \frac{1}{3}\log_{2}{x} = 11 $
Вынесем $ \log_{2}{x} $ за скобки:
$ \log_{2}{x} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = 11 $
$ \log_{2}{x} \left(\frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right) = 11 $
$ \log_{2}{x} \left(\frac{11}{6}\right) = 11 $
$ \log_{2}{x} = 11 \cdot \frac{6}{11} $
$ \log_{2}{x} = 6 $
$ x = 2^6 $
$ x = 64 $
Корень $ x = 64 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 64 > 0 $).
Ответ: 64.

3) $ \log_{6}{x} + 2\log_{36}{x} + 3\log_{216}{x} = 3 $

ОДЗ: $ x > 0 $.
Приведем все логарифмы к основанию 6. Заметим, что $ 36 = 6^2 $ и $ 216 = 6^3 $.
Используем свойство $ \log_{a^k}{b} = \frac{1}{k}\log_{a}{b} $.
$ 2\log_{36}{x} = 2\log_{6^2}{x} = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{6}{x} = \log_{6}{x} $
$ 3\log_{216}{x} = 3\log_{6^3}{x} = 3 \cdot \frac{1}{3}\log_{6}{x} = \log_{6}{x} $
Подставим в уравнение:
$ \log_{6}{x} + \log_{6}{x} + \log_{6}{x} = 3 $
$ 3\log_{6}{x} = 3 $
$ \log_{6}{x} = 1 $
$ x = 6^1 $
$ x = 6 $
Корень $ x = 6 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 6 > 0 $).
Ответ: 6.

4) $ \log_{7}{\log_{4}{(x-2)}} = 0 $

ОДЗ:
1. Аргумент внутреннего логарифма должен быть положительным: $ x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 $.
2. Аргумент внешнего логарифма должен быть положительным: $ \log_{4}{(x-2)} > 0 $.
Так как $ 0 = \log_{4}{1} $, то $ \log_{4}{(x-2)} > \log_{4}{1} $. Поскольку основание $ 4 > 1 $, неравенство равносильно $ x - 2 > 1 \Rightarrow x > 3 $.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 3 $.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$ \log_{4}{(x-2)} = 7^0 $
$ \log_{4}{(x-2)} = 1 $
Снова применяем определение логарифма:
$ x - 2 = 4^1 $
$ x - 2 = 4 $
$ x = 6 $
Корень $ x = 6 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 6 > 3 $).
Ответ: 6.

5) $ \log_{4}{\log_{3}{\log_{2}{x}}} = \frac{1}{2} $

ОДЗ:
1. $ x > 0 $.
2. $ \log_{2}{x} > 0 \Rightarrow \log_{2}{x} > \log_{2}{1} \Rightarrow x > 1 $.
3. $ \log_{3}{(\log_{2}{x})} > 0 \Rightarrow \log_{3}{(\log_{2}{x})} > \log_{3}{1} \Rightarrow \log_{2}{x} > 1 \Rightarrow \log_{2}{x} > \log_{2}{2} \Rightarrow x > 2 $.
Итоговое ОДЗ: $ x > 2 $.
Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов:
$ \log_{3}{(\log_{2}{x})} = 4^{1/2} $
$ \log_{3}{(\log_{2}{x})} = 2 $
$ \log_{2}{x} = 3^2 $
$ \log_{2}{x} = 9 $
$ x = 2^9 $
$ x = 512 $
Корень $ x = 512 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 512 > 2 $).
Ответ: 512.

6.6. Решите уравнение:

1) $\log_3 \frac{1}{x} + \log_3 \sqrt[3]{x} = \frac{4}{3};$

2) $\log_5 x - \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4};$

3) $\lg \lg \lg x = 0.$

1) $\log_{3} \frac{1}{x} + \log_{3} \sqrt[3]{x} = \frac{4}{3}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

Используем свойства логарифмов: $\log_a \frac{1}{b} = \log_a (b^{-1}) = -\log_a b$ и $\log_a \sqrt[n]{b} = \log_a (b^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \log_a b$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$\log_{3} (x^{-1}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{3}}) = \frac{4}{3}$

$-1 \cdot \log_{3} x + \frac{1}{3} \log_{3} x = \frac{4}{3}$

Сделаем замену $y = \log_{3} x$:

$-y + \frac{1}{3} y = \frac{4}{3}$

$-\frac{2}{3} y = \frac{4}{3}$

Умножим обе части уравнения на $-\frac{3}{2}$:

$y = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -2$

Вернемся к исходной переменной:

$\log_{3} x = -2$

По определению логарифма ($x = a^b \iff \log_a x = b$):

$x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Полученное значение $x = \frac{1}{9}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) $\log_{5} x - \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 5, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Заметим, что $25 = 5^2$ и $625 = 5^4$. Тогда:

$\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_{5} x$

$\log_{625} x = \log_{5^4} x = \frac{1}{4} \log_{5} x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\log_{5} x - \frac{1}{2} \log_{5} x + \frac{1}{4} \log_{5} x = \frac{3}{4}$

Вынесем общий множитель $\log_{5} x$ за скобки:

$\log_{5} x \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$

Выполним действия в скобках:

$\log_{5} x \left(\frac{4-2+1}{4}\right) = \frac{3}{4}$

$\log_{5} x \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Разделим обе части на $\frac{3}{4}$:

$\log_{5} x = 1$

По определению логарифма:

$x = 5^1 = 5$

Значение $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $5$

3) $\lg \lg \lg x = 0$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм ($\log_{10}$). Уравнение имеет вид $\log_{10}(\log_{10}(\log_{10} x)) = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть положительным:

1. Из $\lg x$: $x > 0$.

2. Из $\lg(\lg x)$: $\lg x > 0$. Так как $0 = \lg 1$, то $\lg x > \lg 1$, откуда $x > 1$.

3. Из $\lg(\lg(\lg x))$: $\lg(\lg x) > 0$. Так как $0 = \lg 1$, то $\lg(\lg x) > \lg 1$, откуда $\lg x > 1$. Так как $1 = \lg 10$, то $\lg x > \lg 10$, откуда $x > 10$.

Объединяя все условия ($x>0, x>1, x>10$), получаем итоговую ОДЗ: $x > 10$.

Решаем уравнение, последовательно "раскрывая" логарифмы по определению ($b = a^c \iff \log_a b = c$).

$\log_{10}(\log_{10}(\log_{10} x)) = 0$

Аргумент внешнего логарифма равен $10^0$:

$\log_{10}(\log_{10} x) = 10^0 = 1$

Теперь решаем уравнение $\log_{10}(\log_{10} x) = 1$.

$\log_{10} x = 10^1 = 10$

И, наконец, решаем $\log_{10} x = 10$.

$x = 10^{10}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $10^{10}$ очевидно больше $10$, корень подходит.

Ответ: $10^{10}$

6.7. Решите уравнение:

1) $\log_2 (3^{5x-3} + 1) = 2;$

2) $\log_3 (3^{x-1} + 6) = x;$

3) $\log_2 (2^x + 7) = 3 - x;$

4) $\log_6 (6^{-x} - 5) = x + 1.$

1) $\log_{2}(3^{5x-3} + 1) = 2$

По определению логарифма, если $\log_{a}b = c$, то $a^c = b$. Применим это свойство к нашему уравнению.

Основание логарифма $a=2$, показатель $c=2$, аргумент $b = 3^{5x-3} + 1$.

Получаем уравнение:

$3^{5x-3} + 1 = 2^2$

$3^{5x-3} + 1 = 4$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$3^{5x-3} = 3$

Так как $3 = 3^1$, мы можем приравнять показатели степеней:

$5x - 3 = 1$

Теперь решим линейное уравнение:

$5x = 1 + 3$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент должен быть строго больше нуля. $3^{5x-3} + 1 > 0$. Так как $3$ в любой степени — положительное число, то $3^{5x-3} > 0$, следовательно $3^{5x-3} + 1 > 1$. ОДЗ выполняется для любого $x$.

Ответ: $x = \frac{4}{5}$

2) $\log_{3}(3^{x-1} + 6) = x$

Используем определение логарифма:

$3^{x-1} + 6 = 3^x$

Воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{3^x}{3^1} + 6 = 3^x$

$\frac{1}{3} \cdot 3^x + 6 = 3^x$

Перенесем слагаемые с $3^x$ в одну сторону:

$6 = 3^x - \frac{1}{3} \cdot 3^x$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$6 = 3^x(1 - \frac{1}{3})$

$6 = 3^x \cdot \frac{2}{3}$

Выразим $3^x$:

$3^x = 6 \cdot \frac{3}{2}$

$3^x = 9$

Представим 9 как степень тройки:

$3^x = 3^2$

Приравниваем показатели:

$x = 2$

Проверка ОДЗ: $3^{x-1} + 6 = 3^{2-1} + 6 = 3^1 + 6 = 9 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 2$

3) $\log_{2}(2^x + 7) = 3 - x$

По определению логарифма:

$2^x + 7 = 2^{3-x}$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^x + 7 = \frac{2^3}{2^x}$

$2^x + 7 = \frac{8}{2^x}$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$t + 7 = \frac{8}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \ne 0$):

$t(t+7) = 8$

$t^2 + 7t = 8$

$t^2 + 7t - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -8$.

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет этому условию. Остается $t_1 = 1$.

Вернемся к замене:

$2^x = t$

$2^x = 1$

Так как $1 = 2^0$, получаем:

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Проверка ОДЗ: $2^x + 7 = 2^0 + 7 = 1 + 7 = 8 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 0$

4) $\log_{6}(6^{-x} - 5) = x + 1$

По определению логарифма:

$6^{-x} - 5 = 6^{x+1}$

Используем свойства степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$\frac{1}{6^x} - 5 = 6^x \cdot 6^1$

$\frac{1}{6^x} - 5 = 6 \cdot 6^x$

Введем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как $6^x > 0$, то $t > 0$.

$\frac{1}{t} - 5 = 6t$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$1 - 5t = 6t^2$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$6t^2 + 5t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1$

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_2 = -1$ не подходит. Остается $t_1 = \frac{1}{6}$.

Вернемся к замене:

$6^x = t$

$6^x = \frac{1}{6}$

Так как $\frac{1}{6} = 6^{-1}$, получаем:

$6^x = 6^{-1}$

$x = -1$

Проверим ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен. $6^{-x} - 5 > 0$.

Подставим найденный корень $x=-1$:

$6^{-(-1)} - 5 = 6^1 - 5 = 6 - 5 = 1$.

$1 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = -1$

6.8. Решите уравнение:

1) $\log_6 (6^{x+1} - 30) = x;$

2) $\log_5 (6 - 5^x) = 1 - x.$

1) $\log_6(6^{x+1} - 30) = x$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$6^{x+1} - 30 > 0$
$6 \cdot 6^x > 30$
$6^x > \frac{30}{6}$
$6^x > 5$
$x > \log_6 5$

Теперь решим само уравнение. По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это правило к нашему уравнению:
$6^{x+1} - 30 = 6^x$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$6^x \cdot 6^1 - 30 = 6^x$

Введем замену переменной. Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Уравнение примет вид:
$6t - 30 = t$

Решим полученное линейное уравнение относительно $t$:
$6t - t = 30$
$5t = 30$
$t = 6$

Выполним обратную замену:
$6^x = 6$
$6^x = 6^1$
$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > \log_6 5$).
Нам нужно сравнить $1$ и $\log_6 5$. Так как основание логарифма $6 > 1$, функция $y = \log_6 x$ возрастающая. Поскольку $6 > 5$, то $\log_6 6 > \log_6 5$, то есть $1 > \log_6 5$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$

2) $\log_5(6 - 5^x) = 1 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:
$6 - 5^x > 0$
$6 > 5^x$
$x < \log_5 6$

Используя определение логарифма ($a = b^c$ для $\log_b a = c$), преобразуем уравнение:
$6 - 5^x = 5^{1-x}$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получим:
$6 - 5^x = \frac{5^1}{5^x}$

Сделаем замену переменной, пусть $t = 5^x$. Учитывая, что $5^x > 0$, получаем $t > 0$.
Уравнение преобразуется к виду:
$6 - t = \frac{5}{t}$

Домножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t(6 - t) = 5$
$6t - t^2 = 5$
$t^2 - 6t + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни легко находятся:
$t_1 = 1$
$t_2 = 5$
Оба корня положительны, что соответствует условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:
1) Если $t_1 = 1$, то $5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x_1 = 0$.
2) Если $t_2 = 5$, то $5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x_2 = 1$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x < \log_5 6$).
Для $x_1 = 0$: $0 < \log_5 6$, что верно, так как $5^0 = 1 < 6$.
Для $x_2 = 1$: $1 < \log_5 6$, что верно, так как $1 = \log_5 5$, а $5 < 6$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; 1$

6.9. Решите уравнение:

1) $\lg (x^2 - 2x) = \lg (2x + 12);$

2) $\log_4 (x - 1) = \log_4 (x^2 - x - 16);$

3) $\log_{0.5} (x^2 + 3x - 10) = \log_{0.5} (x - 2);$

4) $\log_6 (x^2 - x - 2) = \log_6 (2 - x);$

5) $2\log_{0.4} x = \log_{0.4} (2x^2 - x);$

6) $2\log_7 (-x) = \log_7 (x + 2);$

7) $2\log_8 (1 - x) = \log_8 (2.5x + 1);$

8) $2\log_3 x = 1 + \log_3 (x + 6).$

1) Уравнение $\lg(x^2 - 2x) = \lg(2x + 12)$ равносильно системе, состоящей из равенства подлогарифмических выражений и условия положительности одного из них (проще выбрать линейное выражение).
$\begin{cases} x^2 - 2x = 2x + 12 \\ 2x + 12 > 0 \end{cases}$
Из второго условия (область допустимых значений, ОДЗ) получаем: $2x > -12 \implies x > -6$.
Решаем первое уравнение: $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Проверяем оба корня на соответствие ОДЗ ($x > -6$):
$x_1 = 6$ подходит ($6 > -6$).
$x_2 = -2$ подходит ($-2 > -6$).
Оба корня являются решениями.
Ответ: $-2; 6$.

2) Уравнение $\log_4(x - 1) = \log_4(x^2 - x - 16)$ равносильно системе:
$\begin{cases} x - 1 = x^2 - x - 16 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$
Из ОДЗ ($x - 1 > 0$) следует, что $x > 1$.
Решаем уравнение: $x^2 - 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Проверяем корни: $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x > 1$, а $x_2 = -3$ не удовлетворяет.
Ответ: $5$.

3) Уравнение $\log_{0,5}(x^2 + 3x - 10) = \log_{0,5}(x - 2)$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 = x - 2 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$
Из ОДЗ ($x - 2 > 0$) следует, что $x > 2$.
Решаем уравнение: $x^2 + 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.
Ни один из корней не удовлетворяет строгому неравенству $x > 2$, поэтому уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

4) Уравнение $\log_6(x^2 - x - 2) = \log_6(2 - x)$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - x - 2 = 2 - x \\ 2 - x > 0 \end{cases}$
Из ОДЗ ($2 - x > 0$) следует, что $x < 2$.
Решаем уравнение: $x^2 - 4 = 0$, откуда $x^2 = 4$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Проверяем корни: $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x < 2$, а $x_2 = -2$ удовлетворяет.
Ответ: $-2$.

5) Для уравнения $2\log_{0,4}x = \log_{0,4}(2x^2 - x)$ найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ 2x^2 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x(2x - 1) > 0 \end{cases} \implies x > 0,5$.
Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$, преобразуем уравнение:
$\log_{0,4}(x^2) = \log_{0,4}(2x^2 - x)$.
Приравнивая аргументы, получаем: $x^2 = 2x^2 - x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$.
Корни: $x_1 = 0, x_2 = 1$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ ($x > 0,5$), а корень $x_2 = 1$ удовлетворяет.
Ответ: $1$.

6) Для уравнения $2\log_7(-x) = \log_7(x + 2)$ ОДЗ определяется системой:
$\begin{cases} -x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -2 \end{cases} \implies -2 < x < 0$.
Преобразуем уравнение: $\log_7((-x)^2) = \log_7(x + 2) \implies \log_7(x^2) = \log_7(x + 2)$.
Отсюда $x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, а корень $x_2 = -1$ входит.
Ответ: $-1$.

7) Для уравнения $2\log_8(1 - x) = \log_8(2,5x + 1)$ ОДЗ определяется системой:
$\begin{cases} 1 - x > 0 \\ 2,5x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x > -0,4 \end{cases} \implies -0,4 < x < 1$.
Преобразуем уравнение: $\log_8((1 - x)^2) = \log_8(2,5x + 1)$.
Отсюда $(1 - x)^2 = 2,5x + 1 \implies 1 - 2x + x^2 = 2,5x + 1$.
$x^2 - 4,5x = 0 \implies x(x - 4,5) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4,5$.
Корень $x_1 = 0$ принадлежит ОДЗ, а корень $x_2 = 4,5$ не принадлежит.
Ответ: $0$.

8) Для уравнения $2\log_3 x = 1 + \log_3(x + 6)$ ОДЗ определяется системой:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases} \implies x > 0$.
Представим $1$ как $\log_3 3$ и применим свойства логарифмов:
$2\log_3 x = \log_3 3 + \log_3(x + 6)$
$\log_3(x^2) = \log_3(3(x+6))$.
Приравниваем аргументы: $x^2 = 3x + 18 \implies x^2 - 3x - 18 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$.
Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), а корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет.
Ответ: $6$.