Страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Какую теорему и какое следствие из неё применяют при решении логарифмических неравенств?

При решении логарифмических неравенств используется фундаментальное свойство логарифмической функции — её монотонность. Это свойство формулируется в виде теоремы, из которой вытекает практический метод решения, который можно считать следствием.

Теорема

Основной теоретической базой является теорема о монотонности логарифмической функции $y = \log_a(x)$ (где $x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$).

1. Если основание логарифма $a > 1$, то логарифмическая функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $\log_a(x_2) > \log_a(x_1)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

2. Если основание логарифма $0 < a < 1$, то логарифмическая функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $\log_a(x_2) < \log_a(x_1)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: При решении логарифмических неравенств применяют теорему о монотонности логарифмической функции.

Следствие из теоремы

Из этой теоремы вытекает прямое следствие, которое представляет собой метод равносильных переходов для решения простейших логарифмических неравенств вида $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$. Этот метод заключается в переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов с обязательным учётом области допустимых значений (ОДЗ).

Случай 1: Основание $a > 1$ (функция возрастает)

Знак неравенства для аргументов сохраняется. Неравенство $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$ равносильно системе, в которой мы сравниваем аргументы и учитываем, что они должны быть положительными. Достаточно потребовать, чтобы меньший из аргументов ($g(x)$) был положителен:

$\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Случай 2: Основание $0 < a < 1$ (функция убывает)

Знак неравенства для аргументов меняется на противоположный. Неравенство $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$ равносильно системе, в которой мы также учитываем ОДЗ. В этом случае достаточно потребовать, чтобы новый меньший аргумент ($f(x)$) был положителен:

$\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$

Эти правила применяются аналогично для других знаков неравенств ($\ge$, $<$, $\le$).

Ответ: Следствием является метод равносильных переходов, который позволяет заменить логарифмическое неравенство системой рациональных неравенств, при этом характер системы (сохранение или изменение знака неравенства) зависит от величины основания логарифма.

7.1. Решите неравенство:

1) $ \log_{0,1} x < \log_{0,1} 9 $;

2) $ \log_{11} x > \log_{11} 12 $;

3) $ \log_{0,8} x > \log_{0,8} 14 $;

4) $ \log_{7} x < \log_{7} 15 $;

5) $ \log_{\frac{3}{7}} (x + 5) < \log_{\frac{3}{7}} 8 $;

6) $ \log_{8} (2x - 3) > \log_{8} 7 $;

7) $ \log_{\frac{2}{9}} (x - 4) > \log_{\frac{2}{9}} 2 $;

8) $ \lg (1 + 3x) < \lg 16 $.

1) Дано неравенство $\log_{0,1} x < \log_{0,1} 9$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием, что аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$.
Основание логарифма $a = 0,1$. Поскольку $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Это означает, что для аргументов выполняется неравенство с противоположным знаком.
Из $\log_{0,1} x < \log_{0,1} 9$ следует, что $x > 9$.
Совмещая это решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем итоговое решение: $x > 9$.
Ответ: $x \in (9; +\infty)$

2) Дано неравенство $\log_{11} x > \log_{11} 12$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a = 11$. Поскольку $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Значит, знак неравенства для аргументов сохраняется.
Из $\log_{11} x > \log_{11} 12$ следует, что $x > 12$.
Пересечение с ОДЗ ($x > 0$) дает $x > 12$.
Ответ: $x \in (12; +\infty)$

3) Дано неравенство $\log_{0,8} x > \log_{0,8} 14$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a = 0,8$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный.
Из $\log_{0,8} x > \log_{0,8} 14$ следует, что $x < 14$.
Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x < 14$.
Ответ: $x \in (0; 14)$

4) Дано неравенство $\log_7 x < \log_7 15$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a = 7$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется.
Из $\log_7 x < \log_7 15$ следует, что $x < 15$.
Совмещая с ОДЗ ($x > 0$), получаем $0 < x < 15$.
Ответ: $x \in (0; 15)$

5) Дано неравенство $\log_{\frac{3}{7}} (x + 5) < \log_{\frac{3}{7}} 8$.
ОДЗ: $x + 5 > 0 \implies x > -5$.
Основание логарифма $a = \frac{3}{7}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется.
Из $\log_{\frac{3}{7}} (x + 5) < \log_{\frac{3}{7}} 8$ следует, что $x + 5 > 8$.
$x > 8 - 5 \implies x > 3$.
Совмещая с ОДЗ ($x > -5$), получаем $x > 3$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$

6) Дано неравенство $\log_8 (2x - 3) > \log_8 7$.
ОДЗ: $2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > \frac{3}{2}$ или $x > 1.5$.
Основание логарифма $a = 8$. Поскольку $a > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
Из $\log_8 (2x - 3) > \log_8 7$ следует, что $2x - 3 > 7$.
$2x > 10 \implies x > 5$.
Совмещая с ОДЗ ($x > 1.5$), получаем $x > 5$.
Ответ: $x \in (5; +\infty)$

7) Дано неравенство $\log_{\frac{2}{9}} (x - 4) > \log_{\frac{2}{9}} 2$.
ОДЗ: $x - 4 > 0 \implies x > 4$.
Основание логарифма $a = \frac{2}{9}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется.
Из $\log_{\frac{2}{9}} (x - 4) > \log_{\frac{2}{9}} 2$ следует, что $x - 4 < 2$.
$x < 2 + 4 \implies x < 6$.
Совмещая с ОДЗ ($x > 4$), получаем $4 < x < 6$.
Ответ: $x \in (4; 6)$

8) Дано неравенство $\lg(1 + 3x) < \lg 16$. (lg - это десятичный логарифм, $\log_{10}$)
ОДЗ: $1 + 3x > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -\frac{1}{3}$.
Основание логарифма $a = 10$. Поскольку $a > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
Из $\lg(1 + 3x) < \lg 16$ следует, что $1 + 3x < 16$.
$3x < 15 \implies x < 5$.
Совмещая с ОДЗ ($x > -\frac{1}{3}$), получаем $-\frac{1}{3} < x < 5$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; 5)$