Вопрос, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 7. Логарифмические неравенства. Вопросы к параграфу - страница 53.

Учебник.

Какую теорему и какое следствие из неё применяют при решении логарифмических неравенств?

Решение 2.

При решении логарифмических неравенств используется фундаментальное свойство логарифмической функции — её монотонность. Это свойство формулируется в виде теоремы, из которой вытекает практический метод решения, который можно считать следствием.

Теорема

Основной теоретической базой является теорема о монотонности логарифмической функции $y = \log_a(x)$ (где $x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$).

1. Если основание логарифма $a > 1$, то логарифмическая функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $\log_a(x_2) > \log_a(x_1)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

2. Если основание логарифма $0 < a < 1$, то логарифмическая функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $\log_a(x_2) < \log_a(x_1)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: При решении логарифмических неравенств применяют теорему о монотонности логарифмической функции.

Следствие из теоремы

Из этой теоремы вытекает прямое следствие, которое представляет собой метод равносильных переходов для решения простейших логарифмических неравенств вида $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$. Этот метод заключается в переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов с обязательным учётом области допустимых значений (ОДЗ).

Случай 1: Основание $a > 1$ (функция возрастает)

Знак неравенства для аргументов сохраняется. Неравенство $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$ равносильно системе, в которой мы сравниваем аргументы и учитываем, что они должны быть положительными. Достаточно потребовать, чтобы меньший из аргументов ($g(x)$) был положителен:

$\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Случай 2: Основание $0 < a < 1$ (функция убывает)

Знак неравенства для аргументов меняется на противоположный. Неравенство $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$ равносильно системе, в которой мы также учитываем ОДЗ. В этом случае достаточно потребовать, чтобы новый меньший аргумент ($f(x)$) был положителен:

$\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$

Эти правила применяются аналогично для других знаков неравенств ($\ge$, $<$, $\le$).

Ответ: Следствием является метод равносильных переходов, который позволяет заменить логарифмическое неравенство системой рациональных неравенств, при этом характер системы (сохранение или изменение знака неравенства) зависит от величины основания логарифма.