Вопрос, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2016 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, зелёный

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 11 классе

Вопросы к параграфу. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - страница 53.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
Вопрос (с. 53)
Учебник. Вопрос (с. 53)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 53, Учебник

Какую теорему и какое следствие из неё применяют при решении логарифмических неравенств?

Решение 2. Вопрос (с. 53)

При решении логарифмических неравенств используется фундаментальное свойство логарифмической функции — её монотонность. Это свойство формулируется в виде теоремы, из которой вытекает практический метод решения, который можно считать следствием.

Теорема

Основной теоретической базой является теорема о монотонности логарифмической функции $y = \log_a(x)$ (где $x > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$).

1. Если основание логарифма $a > 1$, то логарифмическая функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $\log_a(x_2) > \log_a(x_1)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

2. Если основание логарифма $0 < a < 1$, то логарифмическая функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что для любых $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $\log_a(x_2) < \log_a(x_1)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: При решении логарифмических неравенств применяют теорему о монотонности логарифмической функции.

Следствие из теоремы

Из этой теоремы вытекает прямое следствие, которое представляет собой метод равносильных переходов для решения простейших логарифмических неравенств вида $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$. Этот метод заключается в переходе от неравенства для логарифмов к неравенству для их аргументов с обязательным учётом области допустимых значений (ОДЗ).

Случай 1: Основание $a > 1$ (функция возрастает)

Знак неравенства для аргументов сохраняется. Неравенство $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$ равносильно системе, в которой мы сравниваем аргументы и учитываем, что они должны быть положительными. Достаточно потребовать, чтобы меньший из аргументов ($g(x)$) был положителен:

$\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Случай 2: Основание $0 < a < 1$ (функция убывает)

Знак неравенства для аргументов меняется на противоположный. Неравенство $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$ равносильно системе, в которой мы также учитываем ОДЗ. В этом случае достаточно потребовать, чтобы новый меньший аргумент ($f(x)$) был положителен:

$\log_a(f(x)) > \log_a(g(x)) \iff \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$

Эти правила применяются аналогично для других знаков неравенств ($\ge$, $<$, $\le$).

Ответ: Следствием является метод равносильных переходов, который позволяет заменить логарифмическое неравенство системой рациональных неравенств, при этом характер системы (сохранение или изменение знака неравенства) зависит от величины основания логарифма.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения Вопрос расположенного на странице 53 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению Вопрос (с. 53), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться