Номер 7.6, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 7. Логарифмические неравенства. Упражнения - номер 7.6, страница 54.

Учебник.

7.6. Найдите целые решения неравенства:

1) $\log_{0,5} (1 - x) > -1$;

2) $\log_{36} (x + 1) \le 0,5$.

Решение.

Решение 2.

1) $\log_{0,5}(1-x) > -1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$1 - x > 0$

$1 > x$

$x < 1$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5:

$-1 = \log_{0,5}(0,5^{-1}) = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{0,5}(2)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0,5}(1-x) > \log_{0,5}(2)$

Так как основание логарифма $0,5$ меньше 1 ($0 < 0,5 < 1$), то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$1 - x < 2$

$-x < 2 - 1$

$-x < 1$

$x > -1$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем систему неравенств:

$\begin{cases} x < 1 \\ x > -1 \end{cases}$

Это означает, что $x$ находится в интервале $(-1; 1)$.

Нам нужно найти целые решения. Единственное целое число, которое удовлетворяет неравенству $-1 < x < 1$, это $0$.

Ответ: 0

2) $\log_{36}(x+1) \le 0,5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x + 1 > 0$

$x > -1$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 36:

$0,5 = \log_{36}(36^{0,5}) = \log_{36}(\sqrt{36}) = \log_{36}(6)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{36}(x+1) \le \log_{36}(6)$

Так как основание логарифма $36$ больше 1, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x + 1 \le 6$

$x \le 6 - 1$

$x \le 5$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Мы имеем систему неравенств:

$\begin{cases} x > -1 \\ x \le 5 \end{cases}$

Это означает, что $x$ находится в полуинтервале $(-1; 5]$.

Нам нужно найти целые решения. Целые числа, которые удовлетворяют неравенству $-1 < x \le 5$, это $0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5