Номер 6.21, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.21, страница 51.

6.21. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 6x + 5)(3x - 1)^2 \le 0;$

2) $(x^2 - x - 2)(x^2 - 4x + 3) \ge 0;$

3) $(x + 7)\sqrt{x + x^2 - 20} > 0;$

4) $\frac{x - 1}{x + 1} < x.$

1) $(x^2 - 6x + 5)(3x - 1)^2 \le 0$

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей.
Второй множитель $(3x - 1)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(3x - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.
Произведение будет меньше или равно нулю в двух случаях:
1. Произведение равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x^2 - 6x + 5 = 0$ или $3x - 1 = 0$.
Решим первое уравнение: $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Решим второе уравнение: $3x - 1 = 0 \implies x = 1/3$.
Таким образом, точки $x=1/3$, $x=1$, $x=5$ являются решениями неравенства.
2. Произведение строго меньше нуля. Так как $(3x - 1)^2 > 0$ при $x \ne 1/3$, то для выполнения неравенства $(x^2 - 6x + 5)(3x - 1)^2 < 0$ необходимо, чтобы первый множитель был отрицательным:
$x^2 - 6x + 5 < 0$.
Это квадратичное неравенство. График функции $y = x^2 - 6x + 5$ — это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.
Решением неравенства $x^2 - 6x + 5 < 0$ является интервал $(1, 5)$.
Объединяем все найденные решения: интервал $(1, 5)$ и точки $1$, $5$ и $1/3$. Это дает нам отрезок $[1, 5]$ и точку $1/3$.

Ответ: $x \in [1, 5] \cup \{1/3\}$

2) $(x^2 - x - 2)(x^2 - 4x + 3) \ge 0$

Разложим каждый из квадратных трехчленов на линейные множители.
Для первого трехчлена $x^2 - x - 2$ найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Тогда $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$.
Для второго трехчлена $x^2 - 4x + 3$ найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
Исходное неравенство принимает вид:
$(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нанесем на числовую ось корни множителей: $-1, 1, 2, 3$. Эти точки разбивают ось на пять интервалов.
Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+)(+) = +$. Интервал $(3, \infty)$ подходит.
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $(+)(+)(+)(-) = -$. Интервал не подходит.
• При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $(+)(+)(-)(-) = +$. Интервал $(1, 2)$ подходит.
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(+)(-)(-)(-) = -$. Интервал не подходит.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-)(-)(-)(-) = +$. Интервал $(-\infty, -1)$ подходит.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки, в которых выражение равно нулю (то есть $-1, 1, 2, 3$), также включаются в решение.
Объединяя все подходящие интервалы и точки, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, \infty)$

3) $(x+7)\sqrt{x^2 + x - 20} > 0$

Произведение двух множителей положительно, если оба множителя положительны или оба отрицательны.
Множитель $\sqrt{x^2 + x - 20}$ не может быть отрицательным. Значит, он должен быть строго положительным (равенство нулю исключается из-за строгого знака неравенства).
Таким образом, неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + x - 20 > 0 \\ x + 7 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x^2 + x - 20 > 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 + x - 20 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$, $x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$.
График $y = x^2 + x - 20$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (4, \infty)$.
Решим второе неравенство: $x + 7 > 0 \implies x > -7$.
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-7, \infty) \cap ((-\infty, -5) \cup (4, \infty))$.
Пересекая $(-7, \infty)$ с $(-\infty, -5)$, получаем $(-7, -5)$.
Пересекая $(-7, \infty)$ с $(4, \infty)$, получаем $(4, \infty)$.
Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-7, -5) \cup (4, \infty)$

4) $\frac{x-1}{x+1} < x$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$\frac{x-1}{x+1} - x < 0$.
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{x-1 - x(x+1)}{x+1} < 0$
$\frac{x-1 - x^2 - x}{x+1} < 0$
$\frac{-x^2 - 1}{x+1} < 0$
Вынесем знак минус из числителя:
$\frac{-(x^2 + 1)}{x+1} < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{x^2 + 1}{x+1} > 0$
Числитель дроби $x^2+1$ всегда положителен при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно $x^2+1 \ge 1$.
Поскольку числитель всегда положителен, для того чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть положителен.
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Область допустимых значений исходного неравенства: $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$. Найденное решение $x > -1$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x \in (-1, \infty)$