Номер 7.5, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.5, страница 54.
№7.5 (с. 54)
Учебник. №7.5 (с. 54)
скриншот условия

7.5. Сколько целых решений имеет неравенство:
1) $\log_{0,25} (3x - 5) > -3;$
2) $\log_3 (7 - x) < 3?$
Решение. №7.5 (с. 54)


Решение 2. №7.5 (с. 54)
1) $\log_{0,25}(3x - 5) > -3$
Решим данное логарифмическое неравенство.
Во-первых, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$3x - 5 > 0$
$3x > 5$
$x > \frac{5}{3}$
Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,25:
$-3 = \log_{0,25}((0,25)^{-3})$
Вычислим значение $(0,25)^{-3}$:
$(0,25)^{-3} = (\frac{1}{4})^{-3} = 4^3 = 64$
Неравенство принимает вид:
$\log_{0,25}(3x - 5) > \log_{0,25}(64)$
Так как основание логарифма $a = 0,25$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$3x - 5 < 64$
$3x < 69$
$x < 23$
Объединим полученное решение с ОДЗ в систему неравенств:
$\begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x < 23 \end{cases}$
Решением системы является интервал $\frac{5}{3} < x < 23$, или, в другом виде, $1\frac{2}{3} < x < 23$.
Теперь найдем все целые решения в этом интервале. Это целые числа, начиная с 2 и заканчивая 22.
Целые решения: $2, 3, 4, \dots, 21, 22$.
Количество целых решений равно: $22 - 2 + 1 = 21$.
Ответ: 21
2) $\log_3(7 - x) < 3$
Решим второе логарифмическое неравенство.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$7 - x > 0$
$x < 7$
Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:
$3 = \log_3(3^3) = \log_3(27)$
Неравенство принимает вид:
$\log_3(7 - x) < \log_3(27)$
Так как основание логарифма $a = 3$ и $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$7 - x < 27$
$-x < 27 - 7$
$-x < 20$
$x > -20$
Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:
$\begin{cases} x < 7 \\ x > -20 \end{cases}$
Решением системы является интервал $-20 < x < 7$.
Найдем все целые решения в данном интервале. Это целые числа, начиная с -19 и заканчивая 6.
Целые решения: $-19, -18, \dots, 5, 6$.
Количество целых решений равно: $6 - (-19) + 1 = 6 + 19 + 1 = 26$.
Ответ: 26
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 7.5 расположенного на странице 54 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.5 (с. 54), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.