Номер 7.5, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 7. Логарифмические неравенства. Упражнения - номер 7.5, страница 54.

Учебник.

7.5. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $\log_{0,25} (3x - 5) > -3;$

2) $\log_3 (7 - x) < 3?$

Решение.

Решение 2.

1) $\log_{0,25}(3x - 5) > -3$
Решим данное логарифмическое неравенство.
Во-первых, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$3x - 5 > 0$
$3x > 5$
$x > \frac{5}{3}$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,25:
$-3 = \log_{0,25}((0,25)^{-3})$
Вычислим значение $(0,25)^{-3}$:
$(0,25)^{-3} = (\frac{1}{4})^{-3} = 4^3 = 64$
Неравенство принимает вид:
$\log_{0,25}(3x - 5) > \log_{0,25}(64)$

Так как основание логарифма $a = 0,25$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$3x - 5 < 64$
$3x < 69$
$x < 23$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему неравенств:
$\begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x < 23 \end{cases}$
Решением системы является интервал $\frac{5}{3} < x < 23$, или, в другом виде, $1\frac{2}{3} < x < 23$.

Теперь найдем все целые решения в этом интервале. Это целые числа, начиная с 2 и заканчивая 22.
Целые решения: $2, 3, 4, \dots, 21, 22$.
Количество целых решений равно: $22 - 2 + 1 = 21$.
Ответ: 21

2) $\log_3(7 - x) < 3$
Решим второе логарифмическое неравенство.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$7 - x > 0$
$x < 7$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:
$3 = \log_3(3^3) = \log_3(27)$
Неравенство принимает вид:
$\log_3(7 - x) < \log_3(27)$

Так как основание логарифма $a = 3$ и $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$7 - x < 27$
$-x < 27 - 7$
$-x < 20$
$x > -20$

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:
$\begin{cases} x < 7 \\ x > -20 \end{cases}$
Решением системы является интервал $-20 < x < 7$.

Найдем все целые решения в данном интервале. Это целые числа, начиная с -19 и заканчивая 6.
Целые решения: $-19, -18, \dots, 5, 6$.
Количество целых решений равно: $6 - (-19) + 1 = 6 + 19 + 1 = 26$.
Ответ: 26