Номер 7.9, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.9, страница 54.

7.9. Найдите наибольшее целое решение неравенства:

1) $\log_{\frac{1}{4}}(x+1) > -\frac{3}{2};$

2) $\log_{\sqrt{3}}(12 - x^2) > 2;$

3) $\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > -1;$

4) $\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 1).$

1) $\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) > -\frac{3}{2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{4}$:
$-\frac{3}{2} = \log_{\frac{1}{4}}\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}\right)$.
Вычислим значение степени: $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) > \log_{\frac{1}{4}}(8)$.

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x + 1 < 8 \Rightarrow x < 7$.

Объединим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > -1 \\ x < 7 \end{cases} \Rightarrow -1 < x < 7$.
Целые решения на этом интервале: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них — 6.

Ответ: 6

2) $\log_{\sqrt{3}}(12 - x^2) > 2$

Найдем ОДЗ:
$12 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 12 \Rightarrow -\sqrt{12} < x < \sqrt{12} \Rightarrow -2\sqrt{3} < x < 2\sqrt{3}$.
Приближенно: $-3.46 < x < 3.46$.

Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\sqrt{3}$:
$2 = \log_{\sqrt{3}}((\sqrt{3})^2) = \log_{\sqrt{3}}(3)$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\sqrt{3}}(12 - x^2) > \log_{\sqrt{3}}(3)$.

Так как основание $a = \sqrt{3} > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:
$12 - x^2 > 3 \Rightarrow 9 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3$.

Объединим решение с ОДЗ:
$\begin{cases} -2\sqrt{3} < x < 2\sqrt{3} \\ -3 < x < 3 \end{cases}$.
Так как $-3 > -2\sqrt{3}$ и $3 < 2\sqrt{3}$, пересечением является интервал $(-3, 3)$.
Целые решения на этом интервале: -2, -1, 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

3) $\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > -1$

Найдем ОДЗ:
$3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$.

Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{7}$:
$-1 = \log_{\frac{1}{7}}\left(\left(\frac{1}{7}\right)^{-1}\right) = \log_{\frac{1}{7}}(7)$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{7}}(3 - x) > \log_{\frac{1}{7}}(7)$.

Так как основание $a = \frac{1}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$3 - x < 7 \Rightarrow -x < 4 \Rightarrow x > -4$.

Объединим решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x < 3 \\ x > -4 \end{cases} \Rightarrow -4 < x < 3$.
Целые решения на этом интервале: -3, -2, -1, 0, 1, 2. Наибольшее из них — 2.

Ответ: 2

4) $\log_{\frac{1}{3}}(2x - 5) > \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительными, что приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} 2x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 5 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2.5 \\ x > -1 \end{cases}$.
Пересечением этих условий является $x > 2.5$.

Теперь решим само неравенство. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$2x - 5 < x + 1$.
$2x - x < 1 + 5 \Rightarrow x < 6$.

Объединим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 2.5 \\ x < 6 \end{cases} \Rightarrow 2.5 < x < 6$.
Целые решения на этом интервале: 3, 4, 5. Наибольшее из них — 5.

Ответ: 5