Номер 7.15, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.15, страница 56.

7.15. Решите неравенство:

1) $ \lg x + \lg (x - 3) > 1; $

2) $ \log_{\frac{1}{3}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{3}} x < -1; $

3) $ \log_2 x + \log_2 (x + 4) < 5; $

4) $ \log_{0,1} (x - 5) + \log_{0,1} (x - 2) \ge -1; $

5) $ \log_6 (5x + 8) + \log_6 (x + 1) \le 1 - \log_6 3; $

6) $ \log_3 (1 - x) + \log_3 (-5x - 2) \ge 2\log_3 2 + 1. $

1) $\lg x + \lg (x - 3) > 1$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow x > 3$.
ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, преобразуем левую часть неравенства. Правую часть представим в виде десятичного логарифма: $1 = \lg 10$.
$\lg(x(x-3)) > \lg 10$
Так как основание логарифма $10 > 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x(x - 3) > 10$
$x^2 - 3x - 10 > 0$
Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 10 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -2$.
Парабола $y = x^2 - 3x - 10$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x - 10 > 0$ выполняется при $x < -2$ или $x > 5$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 3$):
$\begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty) \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow x > 5$.
Ответ: $(5; +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{3}}(x + 2) + \log_{\frac{1}{3}} x < -1$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 0$.
ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.
Преобразуем неравенство, используя свойство суммы логарифмов. Правую часть представим в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$: $-1 = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}} 3$.
$\log_{\frac{1}{3}}(x(x+2)) < \log_{\frac{1}{3}} 3$
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x(x + 2) > 3$
$x^2 + 2x - 3 > 0$
Решим квадратное уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Неравенство $x^2 + 2x - 3 > 0$ выполняется при $x < -3$ или $x > 1$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 0$):
$\begin{cases} x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 1$.
Ответ: $(1; +\infty)$.

3) $\log_2 x + \log_2 (x + 4) < 5$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -4 \end{cases} \Rightarrow x > 0$.
ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.
Преобразуем неравенство. $5 = \log_2 (2^5) = \log_2 32$.
$\log_2(x(x+4)) < \log_2 32$
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x(x + 4) < 32$
$x^2 + 4x - 32 < 0$
Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 32 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -8$.
Неравенство $x^2 + 4x - 32 < 0$ выполняется при $-8 < x < 4$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 0$):
$\begin{cases} -8 < x < 4 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow 0 < x < 4$.
Ответ: $(0; 4)$.

4) $\log_{0,1}(x - 5) + \log_{0,1}(x - 2) \ge -1$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 5 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 5$.
ОДЗ: $x \in (5; +\infty)$.
Преобразуем неравенство. $-1 = \log_{0,1}((0,1)^{-1}) = \log_{0,1} 10$.
$\log_{0,1}((x-5)(x-2)) \ge \log_{0,1} 10$
Так как основание логарифма $0 < 0,1 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$(x - 5)(x - 2) \le 10$
$x^2 - 7x + 10 \le 10$
$x^2 - 7x \le 0$
$x(x - 7) \le 0$
Решение этого неравенства: $0 \le x \le 7$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 5$):
$\begin{cases} 0 \le x \le 7 \\ x > 5 \end{cases} \Rightarrow 5 < x \le 7$.
Ответ: $(5; 7]$.

5) $\log_6(5x + 8) + \log_6(x + 1) \le 1 - \log_6 3$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 5x + 8 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -8/5 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > -1$.
ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.
Преобразуем неравенство:
$\log_6((5x+8)(x+1)) \le \log_6 6 - \log_6 3$
$\log_6(5x^2 + 13x + 8) \le \log_6(6/3)$
$\log_6(5x^2 + 13x + 8) \le \log_6 2$
Так как основание логарифма $6 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$5x^2 + 13x + 8 \le 2$
$5x^2 + 13x + 6 \le 0$
Решим квадратное уравнение $5x^2 + 13x + 6 = 0$. Дискриминант $D = 13^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-13 - 7}{10} = -2$, $x_2 = \frac{-13 + 7}{10} = -0,6$.
Решение неравенства $5x^2 + 13x + 6 \le 0$ есть отрезок $[-2; -0,6]$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > -1$):
$\begin{cases} -2 \le x \le -0,6 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow -1 < x \le -0,6$.
Ответ: $(-1; -0,6]$.

6) $\log_3(1 - x) + \log_3(-5x - 2) \ge 2\log_3 2 + 1$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 1 - x > 0 \\ -5x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1 \\ -5x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1 \\ x < -2/5 \end{cases} \Rightarrow x < -0,4$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; -0,4)$.
Преобразуем обе части неравенства:
Левая часть: $\log_3((1-x)(-5x-2)) = \log_3(5x^2 - 3x - 2)$.
Правая часть: $2\log_3 2 + 1 = \log_3 2^2 + \log_3 3 = \log_3 4 + \log_3 3 = \log_3(4 \cdot 3) = \log_3 12$.
Неравенство принимает вид:
$\log_3(5x^2 - 3x - 2) \ge \log_3 12$
Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$5x^2 - 3x - 2 \ge 12$
$5x^2 - 3x - 14 \ge 0$
Решим квадратное уравнение $5x^2 - 3x - 14 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14) = 9 + 280 = 289 = 17^2$.
Корни: $x_1 = \frac{3 - 17}{10} = -1,4$, $x_2 = \frac{3 + 17}{10} = 2$.
Решение неравенства $5x^2 - 3x - 14 \ge 0$ есть объединение лучей $(-\infty; -1,4] \cup [2; +\infty)$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x < -0,4$):
$\begin{cases} x \in (-\infty; -1,4] \cup [2; +\infty) \\ x < -0,4 \end{cases} \Rightarrow x \le -1,4$.
Ответ: $(-\infty; -1,4]$.