Номер 7.10, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.10, страница 55.

7.10. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $log_{1/6} (x + 2) \le 0;$

2) $log_{1/2} (6 - x) > -2;$

3) $log_{0.3} (4x - 3) \ge log_{0.3} (x + 3);$

4) $log_{1/3} (x^2 - 2x + 1) \ge -1.$

1) $\log_{\frac{1}{6}} (x + 2) \le 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x + 2 > 0$

$x > -2$

Теперь решим само неравенство. Представим 0 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{6}$:

$0 = \log_{\frac{1}{6}}(1)$

Получаем неравенство:

$\log_{\frac{1}{6}} (x + 2) \le \log_{\frac{1}{6}}(1)$

Так как основание логарифма $\frac{1}{6}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{6} < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 2 \ge 1$

$x \ge 1 - 2$

$x \ge -1$

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно, чтобы выполнялись оба условия: $x > -2$ и $x \ge -1$. Пересечением этих двух множеств является $x \ge -1$.

Целые числа, удовлетворяющие этому условию: -1, 0, 1, 2, ... Наименьшее из них равно -1.

Ответ: -1

2) $\log_{\frac{1}{2}} (6 - x) > -2$

Найдем ОДЗ:

$6 - x > 0$

$x < 6$

Решим неравенство. Представим -2 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:

$-2 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{\frac{1}{2}}(2^2) = \log_{\frac{1}{2}}(4)$

Получаем:

$\log_{\frac{1}{2}} (6 - x) > \log_{\frac{1}{2}}(4)$

Основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, поэтому знак неравенства меняем на противоположный:

$6 - x < 4$

$6 - 4 < x$

$x > 2$

Совместим с ОДЗ: $x < 6$ и $x > 2$. Получаем интервал $2 < x < 6$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 3, 4, 5. Наименьшее из них равно 3.

Ответ: 3

3) $\log_{0,3} (4x - 3) \ge \log_{0,3} (x + 3)$

Найдем ОДЗ. Оба аргумента логарифмов должны быть положительны, поэтому решаем систему неравенств:

$\begin{cases} 4x - 3 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x > 3 \\ x > -3 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x > -3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{3}{4}$.

Теперь решим основное неравенство. Основание логарифма $0,3$ меньше 1, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется:

$4x - 3 \le x + 3$

$4x - x \le 3 + 3$

$3x \le 6$

$x \le 2$

Объединим результат с ОДЗ: $x > \frac{3}{4}$ и $x \le 2$. Получаем полуинтервал $\frac{3}{4} < x \le 2$.

Целые числа, принадлежащие этому полуинтервалу: 1, 2. Наименьшее из них равно 1.

Ответ: 1

4) $\log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 2x + 1) \ge -1$

Найдем ОДЗ. Выражение в скобках является полным квадратом:

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Аргумент логарифма должен быть строго положителен:

$(x - 1)^2 > 0$

Квадрат любого числа, кроме нуля, положителен. Значит, $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.

Решим неравенство. Представим -1 в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:

$-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$

Получаем:

$\log_{\frac{1}{3}} ((x - 1)^2) \ge \log_{\frac{1}{3}}(3)$

Основание $\frac{1}{3}$ меньше 1, поэтому меняем знак неравенства:

$(x - 1)^2 \le 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$|x - 1| \le \sqrt{3}$

Это неравенство равносильно системе:

$-\sqrt{3} \le x - 1 \le \sqrt{3}$

Прибавим 1 ко всем частям:

$1 - \sqrt{3} \le x \le 1 + \sqrt{3}$

Теперь учтем ОДЗ ($x \ne 1$). Так как $1$ входит в полученный отрезок, мы должны его исключить. Решением является объединение $x \in [1 - \sqrt{3}, 1) \cup (1, 1 + \sqrt{3}]$.

Оценим значения границ. $\sqrt{3} \approx 1,732$.

$1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1,732 = -0,732$

$1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1,732 = 2,732$

Таким образом, $x$ находится в промежутке примерно от -0,732 до 2,732, не включая 1. Целые числа в этом диапазоне: 0, 2. Наименьшее из них равно 0.

Ответ: 0