Номер 7.4, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 7. Логарифмические неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 7.4, страница 54.

7.4. Решите неравенство:

1) $\log_{\frac{1}{7}} x < -1;$

2) $\log_4 x > 2;$

3) $\lg x < 5;$

4) $\log_{\frac{1}{6}} x > -3;$

5) $\log_{\frac{1}{3}} (2x - 3) \ge -2;$

6) $\log_9 (5x + 6) \le 2.$

1) $ \log_{\frac{1}{7}} x < -1 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При решении неравенства это означает, что знак неравенства нужно будет изменить на противоположный.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{7}$:

$ -1 = \log_{\frac{1}{7}} ((\frac{1}{7})^{-1}) = \log_{\frac{1}{7}} 7 $

Исходное неравенство можно переписать так:

$ \log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 7 $

Поскольку основание меньше 1, переходим к неравенству для аргументов, меняя знак:

$ x > 7 $

Совмещаем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Пересечением условий $x > 7$ и $x > 0$ является $x > 7$.

Ответ: $x \in (7; +\infty)$.

2) $ \log_{4} x > 2 $

ОДЗ: $x > 0$.

Основание логарифма $a = 4$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и при решении неравенства знак сохраняется.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 4:

$ 2 = \log_{4} (4^2) = \log_{4} 16 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{4} x > \log_{4} 16 $

Поскольку основание больше 1, переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:

$ x > 16 $

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем, что решение $x > 16$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x \in (16; +\infty)$.

3) $ \lg x < 5 $

Запись $ \lg x $ означает десятичный логарифм $ \log_{10} x $.

ОДЗ: $x > 0$.

Основание логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

Представим правую часть в виде десятичного логарифма:

$ 5 = \log_{10} (10^5) = \log_{10} 100000 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{10} x < \log_{10} 100000 $

Переходим к аргументам, сохраняя знак:

$ x < 100000 $

Совмещаем с ОДЗ: $0 < x < 100000$.

Ответ: $x \in (0; 100000)$.

4) $ \log_{\frac{1}{6}} x > -3 $

ОДЗ: $x > 0$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{6}$:

$ -3 = \log_{\frac{1}{6}} ((\frac{1}{6})^{-3}) = \log_{\frac{1}{6}} (6^3) = \log_{\frac{1}{6}} 216 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{\frac{1}{6}} x > \log_{\frac{1}{6}} 216 $

Переходим к аргументам, меняя знак:

$ x < 216 $

Совмещаем с ОДЗ ($x > 0$): $0 < x < 216$.

Ответ: $x \in (0; 216)$.

5) $ \log_{\frac{1}{3}} (2x - 3) \ge -2 $

ОДЗ: $2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > \frac{3}{2}$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:

$ -2 = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-2}) = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = \log_{\frac{1}{3}} 9 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{\frac{1}{3}} (2x - 3) \ge \log_{\frac{1}{3}} 9 $

Переходим к аргументам, меняя знак:

$ 2x - 3 \le 9 $

$ 2x \le 12 $

$ x \le 6 $

Совмещаем полученное решение с ОДЗ ($x > \frac{3}{2}$). Получаем систему:

$ \begin{cases} x \le 6 \\ x > 1.5 \end{cases} $

Решением является интервал $1.5 < x \le 6$.

Ответ: $x \in (1.5; 6]$.

6) $ \log_{9} (5x + 6) \le 2 $

ОДЗ: $5x + 6 > 0 \implies 5x > -6 \implies x > -\frac{6}{5}$, то есть $x > -1.2$.

Основание логарифма $a = 9$. Так как $a > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.

Представим правую часть в виде логарифма с основанием 9:

$ 2 = \log_{9} (9^2) = \log_{9} 81 $

Перепишем неравенство:

$ \log_{9} (5x + 6) \le \log_{9} 81 $

Переходим к аргументам, сохраняя знак:

$ 5x + 6 \le 81 $

$ 5x \le 75 $

$ x \le 15 $

Совмещаем с ОДЗ ($x > -1.2$). Получаем систему:

$ \begin{cases} x \le 15 \\ x > -1.2 \end{cases} $

Решением является интервал $-1.2 < x \le 15$.

Ответ: $x \in (-1.2; 15]$.