Номер 6.19, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.19, страница 51.

6.19. Решите уравнение:

1) $\frac{2\lg x}{\lg (8x - 7)} = 1;$

2) $\frac{\log_4 (x^2 + x - 2) - 1}{\log_4 (x - 1)} = 0;$

3) $\log_x (2x^2 - 7x + 12) = 2;$

4) $\log_{x + 1} (x + 3) = 2;$

5) $\log_{x - 2} (2x^2 - 11x + 16) = 2.$

1) $\frac{2\lg x}{\lg(8x - 7)} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.
2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть больше нуля: $8x - 7 > 0 \Rightarrow 8x > 7 \Rightarrow x > \frac{7}{8}$.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg(8x - 7) \neq 0 \Rightarrow 8x - 7 \neq 10^0 \Rightarrow 8x - 7 \neq 1 \Rightarrow 8x \neq 8 \Rightarrow x \neq 1$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (\frac{7}{8}; 1) \cup (1; +\infty)$.

Решаем уравнение:
$2\lg x = \lg(8x - 7)$
$\lg(x^2) = \lg(8x - 7)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x^2 = 8x - 7$
$x^2 - 8x + 7 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$.
Корень $x_2 = 7$ входит в ОДЗ.
Ответ: 7

2) $\frac{\log_4(x^2 + x - 2) - 1}{\log_4(x - 1)} = 0$

Найдем ОДЗ:
1. $x^2 + x - 2 > 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$.
2. $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.
3. $\log_4(x - 1) \neq 0 \Rightarrow x - 1 \neq 4^0 \Rightarrow x - 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ.
Приравниваем числитель к нулю:
$\log_4(x^2 + x - 2) - 1 = 0$
$\log_4(x^2 + x - 2) = 1$
$x^2 + x - 2 = 4^1$
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = -3$ не входит в ОДЗ.
Корень $x_2 = 2$ не входит в ОДЗ.
Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: нет корней

3) $\log_x(2x^2 - 7x + 12) = 2$

Найдем ОДЗ:
1. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $2x^2 - 7x + 12 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 49 - 96 = -47$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение $2x^2 - 7x + 12$ положительно при любых $x$.
ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

По определению логарифма:
$2x^2 - 7x + 12 = x^2$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 3; 4

4) $\log_{x+1}(x + 3) = 2$

Найдем ОДЗ:
1. Основание логарифма: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$ и $x+1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0$.
2. Аргумент логарифма: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

По определению логарифма:
$x + 3 = (x+1)^2$
$x + 3 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ входит в ОДЗ.
Корень $x_2 = -2$ не входит в ОДЗ.
Ответ: 1

5) $\log_{x-2}(2x^2 - 11x + 16) = 2$

Найдем ОДЗ:
1. Основание логарифма: $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$ и $x-2 \neq 1 \Rightarrow x \neq 3$.
2. Аргумент логарифма: $2x^2 - 11x + 16 > 0$. Найдем дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 121 - 128 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение положительно при любых $x$.
ОДЗ: $x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

По определению логарифма:
$2x^2 - 11x + 16 = (x-2)^2$
$2x^2 - 11x + 16 = x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$.
Корень $x_2 = 4$ входит в ОДЗ.
Ответ: 4