Номер 6.12, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 6. Логарифмические уравнения. Упражнения - номер 6.12, страница 50.

Учебник.

6.12. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{2}\log_{0,1}(2x+3)-\log_{0,1}(2x-3)=0$;

2) $\log_3(2^{2x}+2^x)=2\log_9 12$;

3) $x-\lg 5=x\lg 5+2\lg 2-\lg (1+2^x).$

Решение.

Решение 2.

1) $\frac{1}{2}\log_{0,1}(2x + 3) - \log_{0,1}(2x - 3) = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > -3 \\ 2x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1,5 \\ x > 1,5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > 1,5$.

Перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения:
$\frac{1}{2}\log_{0,1}(2x + 3) = \log_{0,1}(2x - 3)$

Используем свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$:
$\log_{0,1}((2x + 3)^{\frac{1}{2}}) = \log_{0,1}(2x - 3)$
$\log_{0,1}(\sqrt{2x + 3}) = \log_{0,1}(2x - 3)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем выражения под знаком логарифма:
$\sqrt{2x + 3} = 2x - 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат. Учтем, что правая часть должна быть неотрицательной: $2x - 3 \ge 0$, что совпадает с нашим ОДЗ ($x > 1,5$).
$(\sqrt{2x + 3})^2 = (2x - 3)^2$
$2x + 3 = 4x^2 - 12x + 9$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$4x^2 - 12x - 2x + 9 - 3 = 0$
$4x^2 - 14x + 6 = 0$
Разделим обе части на 2:
$2x^2 - 7x + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1,5$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 > 1,5$).
$x_2 = 0,5$ не удовлетворяет условию ($0,5 \ngtr 1,5$).

Ответ: 3

2) $\log_3(2^{2x} + 2^x) = 2\log_9 12$

ОДЗ: $2^{2x} + 2^x > 0$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то и сумма $2^{2x} + 2^x$ всегда положительна. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем правую часть уравнения, приведя логарифм к основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$2\log_9 12 = 2\log_{3^2} 12 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 12 = \log_3 12$

Теперь уравнение имеет вид:
$\log_3(2^{2x} + 2^x) = \log_3 12$

Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$2^{2x} + 2^x = 12$
$(2^x)^2 + 2^x - 12 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
$t^2 + t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Вернемся к замене. Корень $t_2 = -4$ не подходит, так как $t = 2^x > 0$.
Рассмотрим $t_1 = 3$:
$2^x = 3$
$x = \log_2 3$

Ответ: $\log_2 3$

3) $x - \lg 5 = x\lg 5 + 2\lg 2 - \lg(1 + 2^x)$

ОДЗ: $1 + 2^x > 0$. Это неравенство выполняется для любых действительных $x$, так как $2^x > 0$. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Сгруппируем слагаемые: содержащие $x$ в левой части, остальные — в правой.
$x - x\lg 5 = \lg 5 + 2\lg 2 - \lg(1 + 2^x)$

Вынесем $x$ за скобки в левой части и применим свойства логарифмов в обеих частях. Вспомним, что $1 = \lg 10$.
$x(1 - \lg 5) = \lg 5 + \lg(2^2) - \lg(1 + 2^x)$
$x(\lg 10 - \lg 5) = \lg 5 + \lg 4 - \lg(1 + 2^x)$

Используем свойства разности и суммы логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.
$x \lg(\frac{10}{5}) = \lg(5 \cdot 4) - \lg(1 + 2^x)$
$x \lg 2 = \lg 20 - \lg(1 + 2^x)$
$x \lg 2 = \lg\left(\frac{20}{1 + 2^x}\right)$

Применим свойство $n \log_a b = \log_a (b^n)$ к левой части:
$\lg(2^x) = \lg\left(\frac{20}{1 + 2^x}\right)$

Приравниваем выражения под знаком логарифма:
$2^x = \frac{20}{1 + 2^x}$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
$t = \frac{20}{1 + t}$

Решим уравнение относительно $t$:
$t(1 + t) = 20$
$t + t^2 = 20$
$t^2 + t - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -20$
Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Вернемся к замене. Корень $t_2 = -5$ не подходит, так как $t = 2^x > 0$.
Рассмотрим $t_1 = 4$:
$2^x = 4$
$2^x = 2^2$
$x = 2$

Ответ: 2