Номер 6.5, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 6.5, страница 49.

6.5. Решите уравнение:

1) $ \log_2 \sqrt{x} - \log_2 \frac{1}{x} = 6; $

2) $ \log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11; $

3) $ \log_6 x + 2\log_{36} x + 3\log_{216} x = 3; $

4) $ \log_7 \log_4 (x - 2) = 0; $

5) $ \log_4 \log_3 \log_2 x = \frac{1}{2}. $

1) $ \log_{2}{\sqrt{x}} - \log_{2}{\frac{1}{x}} = 6 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.
Используем свойства логарифмов $ \log_{a}{b^c} = c \cdot \log_{a}{b} $ и $ \log_{a}{\frac{1}{b}} = -\log_{a}{b} $.
$ \log_{2}{x^{1/2}} - \log_{2}{x^{-1}} = 6 $
$ \frac{1}{2}\log_{2}{x} - (-1)\log_{2}{x} = 6 $
$ \frac{1}{2}\log_{2}{x} + \log_{2}{x} = 6 $
$ \frac{3}{2}\log_{2}{x} = 6 $
Умножим обе части на $ \frac{2}{3} $:
$ \log_{2}{x} = 6 \cdot \frac{2}{3} $
$ \log_{2}{x} = 4 $
По определению логарифма:
$ x = 2^4 $
$ x = 16 $
Корень $ x = 16 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 16 > 0 $).
Ответ: 16.

2) $ \log_{2}{x} + \log_{4}{x} + \log_{8}{x} = 11 $

ОДЗ: $ x > 0 $.
Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к 2, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_{a}{b} = \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}} $.
$ \log_{4}{x} = \frac{\log_{2}{x}}{\log_{2}{4}} = \frac{\log_{2}{x}}{2} $
$ \log_{8}{x} = \frac{\log_{2}{x}}{\log_{2}{8}} = \frac{\log_{2}{x}}{3} $
Подставим в исходное уравнение:
$ \log_{2}{x} + \frac{1}{2}\log_{2}{x} + \frac{1}{3}\log_{2}{x} = 11 $
Вынесем $ \log_{2}{x} $ за скобки:
$ \log_{2}{x} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = 11 $
$ \log_{2}{x} \left(\frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right) = 11 $
$ \log_{2}{x} \left(\frac{11}{6}\right) = 11 $
$ \log_{2}{x} = 11 \cdot \frac{6}{11} $
$ \log_{2}{x} = 6 $
$ x = 2^6 $
$ x = 64 $
Корень $ x = 64 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 64 > 0 $).
Ответ: 64.

3) $ \log_{6}{x} + 2\log_{36}{x} + 3\log_{216}{x} = 3 $

ОДЗ: $ x > 0 $.
Приведем все логарифмы к основанию 6. Заметим, что $ 36 = 6^2 $ и $ 216 = 6^3 $.
Используем свойство $ \log_{a^k}{b} = \frac{1}{k}\log_{a}{b} $.
$ 2\log_{36}{x} = 2\log_{6^2}{x} = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{6}{x} = \log_{6}{x} $
$ 3\log_{216}{x} = 3\log_{6^3}{x} = 3 \cdot \frac{1}{3}\log_{6}{x} = \log_{6}{x} $
Подставим в уравнение:
$ \log_{6}{x} + \log_{6}{x} + \log_{6}{x} = 3 $
$ 3\log_{6}{x} = 3 $
$ \log_{6}{x} = 1 $
$ x = 6^1 $
$ x = 6 $
Корень $ x = 6 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 6 > 0 $).
Ответ: 6.

4) $ \log_{7}{\log_{4}{(x-2)}} = 0 $

ОДЗ:
1. Аргумент внутреннего логарифма должен быть положительным: $ x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 $.
2. Аргумент внешнего логарифма должен быть положительным: $ \log_{4}{(x-2)} > 0 $.
Так как $ 0 = \log_{4}{1} $, то $ \log_{4}{(x-2)} > \log_{4}{1} $. Поскольку основание $ 4 > 1 $, неравенство равносильно $ x - 2 > 1 \Rightarrow x > 3 $.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 3 $.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$ \log_{4}{(x-2)} = 7^0 $
$ \log_{4}{(x-2)} = 1 $
Снова применяем определение логарифма:
$ x - 2 = 4^1 $
$ x - 2 = 4 $
$ x = 6 $
Корень $ x = 6 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 6 > 3 $).
Ответ: 6.

5) $ \log_{4}{\log_{3}{\log_{2}{x}}} = \frac{1}{2} $

ОДЗ:
1. $ x > 0 $.
2. $ \log_{2}{x} > 0 \Rightarrow \log_{2}{x} > \log_{2}{1} \Rightarrow x > 1 $.
3. $ \log_{3}{(\log_{2}{x})} > 0 \Rightarrow \log_{3}{(\log_{2}{x})} > \log_{3}{1} \Rightarrow \log_{2}{x} > 1 \Rightarrow \log_{2}{x} > \log_{2}{2} \Rightarrow x > 2 $.
Итоговое ОДЗ: $ x > 2 $.
Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов:
$ \log_{3}{(\log_{2}{x})} = 4^{1/2} $
$ \log_{3}{(\log_{2}{x})} = 2 $
$ \log_{2}{x} = 3^2 $
$ \log_{2}{x} = 9 $
$ x = 2^9 $
$ x = 512 $
Корень $ x = 512 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 512 > 2 $).
Ответ: 512.