Номер 5.38, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 5. Логарифмическая функция и её свойства. Упражнения для повторения - номер 5.38, страница 45.

Учебник.

5.38. Решите уравнение $ \frac{2x-1}{x+1} + \frac{3x-1}{x+2} = \frac{x-7}{x-1} + 4 $

Решение.

Решение 2.

Исходное уравнение:$$ \frac{2x - 1}{x + 1} + \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{x - 7}{x - 1} + 4 $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1\}$.

Для упрощения уравнения выделим целую часть в каждой дроби. Этот метод позволяет уменьшить степень многочленов в числителях.$$ \frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 2 - 1}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 3}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1} $$$$ \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{3(x + 2) - 6 - 1}{x + 2} = \frac{3(x + 2) - 7}{x + 2} = 3 - \frac{7}{x + 2} $$$$ \frac{x - 7}{x - 1} = \frac{(x - 1) - 6}{x - 1} = 1 - \frac{6}{x - 1} $$

Подставим преобразованные выражения обратно в исходное уравнение:$$ \left(2 - \frac{3}{x + 1}\right) + \left(3 - \frac{7}{x + 2}\right) = \left(1 - \frac{6}{x - 1}\right) + 4 $$

Упростим полученное уравнение, сгруппировав целые числа:$$ 5 - \frac{3}{x + 1} - \frac{7}{x + 2} = 5 - \frac{6}{x - 1} $$Вычтем 5 из обеих частей уравнения:$$ -\frac{3}{x + 1} - \frac{7}{x + 2} = -\frac{6}{x - 1} $$Умножим обе части на $-1$:$$ \frac{3}{x + 1} + \frac{7}{x + 2} = \frac{6}{x - 1} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 1)(x + 2)$:$$ \frac{3(x + 2) + 7(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{6}{x - 1} $$$$ \frac{3x + 6 + 7x + 7}{x^2 + 2x + x + 2} = \frac{6}{x - 1} $$$$ \frac{10x + 13}{x^2 + 3x + 2} = \frac{6}{x - 1} $$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):$$ (10x + 13)(x - 1) = 6(x^2 + 3x + 2) $$Раскроем скобки в обеих частях уравнения:$$ 10x^2 - 10x + 13x - 13 = 6x^2 + 18x + 12 $$$$ 10x^2 + 3x - 13 = 6x^2 + 18x + 12 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:$$ (10x^2 - 6x^2) + (3x - 18x) + (-13 - 12) = 0 $$$$ 4x^2 - 15x - 25 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 225 + 400 = 625 $$Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$$ x_1 = \frac{-(-15) + 25}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 25}{8} = \frac{40}{8} = 5 $$$$ x_2 = \frac{-(-15) - 25}{2 \cdot 4} = \frac{15 - 25}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25 $$

Проверим, входят ли найденные корни в область допустимых значений. ОДЗ: $x \neq -2, x \neq -1, x \neq 1$. Оба корня $x_1 = 5$ и $x_2 = -1.25$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: $5; -1.25$.