Номер 5.39, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 5. Логарифмическая функция и её свойства. Упражнения для повторения - номер 5.39, страница 45.

Учебник.

5.39. Решите неравенство $ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x} \le \frac{2}{x+2} $.

Решение.

Решение 2.

Для решения данного неравенства перенесем все его члены в левую часть и приведем их к общему знаменателю.

$$ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x} \le \frac{2}{x+2} $$ $$ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \le 0 $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)(x+2)$: $$ \frac{x(x+2) - (x-2)(x+2) - 2x(x-2)}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $$ \frac{(x^2+2x) - (x^2-4) - (2x^2-4x)}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$ $$ \frac{x^2+2x - x^2+4 - 2x^2+4x}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$ $$ \frac{-2x^2 + 6x + 4}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$

Чтобы упростить неравенство, вынесем множитель -2 из числителя: $$ \frac{-2(x^2 - 3x - 2)}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$ Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$ \frac{x^2 - 3x - 2}{x(x-2)(x+2)} \ge 0 $$

Теперь решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.
1) Корни числителя находятся из уравнения $x^2 - 3x - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$. Эти точки будут включены в решение (закрашенные точки), так как неравенство нестрогое.
2) Корни знаменателя находятся из уравнения $x(x-2)(x+2) = 0$.
Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = 2$, $x_5 = -2$. Эти точки будут исключены из решения (выколотые точки), так как они не входят в ОДЗ.

Отметим все найденные корни на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах.
Для этого расположим корни в порядке возрастания. Оценим значения корней числителя: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 - 4.12}{2} \approx -0.56$.
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 + 4.12}{2} \approx 3.56$.
Порядок корней на оси: $-2$, $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$, $0$, $2$, $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$.

Проверим знак выражения $f(x) = \frac{x^2 - 3x - 2}{x(x-2)(x+2)}$ в крайнем правом интервале, например, при $x = 4$:
$f(4) = \frac{4^2 - 3 \cdot 4 - 2}{4(4 - 2)(4 + 2)} = \frac{16 - 12 - 2}{4 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{2}{48} > 0$.
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться. Нас интересуют промежутки, где $f(x) \ge 0$.
- Интервал $(-\infty; -2)$: знак минус.
- Интервал $(-2; \frac{3-\sqrt{17}}{2}]$: знак плюс.
- Интервал $[\frac{3-\sqrt{17}}{2}; 0)$: знак минус.
- Интервал $(0; 2)$: знак плюс.
- Интервал $(2; \frac{3+\sqrt{17}}{2}]$: знак минус.
- Интервал $[\frac{3+\sqrt{17}}{2}; +\infty)$: знак плюс.

Выбираем интервалы со знаком "плюс", включая концы, принадлежащие корням числителя, и исключая концы, принадлежащие корням знаменателя.

Ответ: $x \in (-2, \frac{3-\sqrt{17}}{2}] \cup (0, 2) \cup [\frac{3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$.