Вопрос, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2016 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, зелёный

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 11 классе

Вопросы к параграфу. § 6. Логарифмические уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - страница 48.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
Вопрос (с. 48)
Учебник. Вопрос (с. 48)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2016, страница 48, Учебник

Какую теорему и какое следствие из неё применяют при решении логарифмических уравнений?

Решение 2. Вопрос (с. 48)

Теорема

При решении логарифмических уравнений вида $log_a(f(x)) = log_a(g(x))$ применяется теорема о равносильности (эквивалентности). Эта теорема гласит, что если основание логарифма $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \ne 1$, то логарифмическое уравнение $log_a(f(x)) = log_a(g(x))$ равносильно (эквивалентно) следующей системе:

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Основанием для этой теоремы является свойство монотонности логарифмической функции $y = log_a(t)$ на всей её области определения ($t > 0$). Поскольку функция монотонна (строго возрастает при $a>1$ или строго убывает при $0<a<1$), каждое своё значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, равенство значений функции ($log_a(f(x)) = log_a(g(x))$) возможно тогда и только тогда, когда равны их аргументы ($f(x) = g(x)$), при условии, что эти аргументы входят в область определения логарифма (т.е. являются положительными).

Ответ: Применяется теорема о равносильности, которая утверждает, что уравнение $log_a(f(x)) = log_a(g(x))$ эквивалентно системе, состоящей из равенства подлогарифмических выражений $f(x) = g(x)$ и условий их положительности $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Следствие

На практике при решении логарифмических уравнений чаще используют важное следствие из этой теоремы, которое позволяет упростить систему. Следствие заключается в том, что нет необходимости проверять оба неравенства $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ одновременно.

Если мы находим решения уравнения $f(x) = g(x)$ и затем проверяем для этих решений условие положительности для одного из выражений (например, $f(x) > 0$), то для этих же решений второе выражение ($g(x)$) будет автоматически положительным, так как оно равно первому. Таким образом, исходная система может быть заменена на одну из двух более простых равносильных систем (выбирается та, в которой неравенство проще):

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Этот подход значительно сокращает объем вычислений, так как вместо решения двух неравенств из области допустимых значений (ОДЗ) достаточно решить только одно (обычно выбирают то, которое имеет более простой вид).

Ответ: Используется следствие, согласно которому при решении уравнения $log_a(f(x)) = log_a(g(x))$ достаточно к уравнению $f(x) = g(x)$ добавить условие положительности только для одного, более простого из выражений $f(x)$ или $g(x)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения Вопрос расположенного на странице 48 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению Вопрос (с. 48), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться