Страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Какую теорему и какое следствие из неё применяют при решении логарифмических уравнений?

Теорема

При решении логарифмических уравнений вида $log_a(f(x)) = log_a(g(x))$ применяется теорема о равносильности (эквивалентности). Эта теорема гласит, что если основание логарифма $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \ne 1$, то логарифмическое уравнение $log_a(f(x)) = log_a(g(x))$ равносильно (эквивалентно) следующей системе:

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Основанием для этой теоремы является свойство монотонности логарифмической функции $y = log_a(t)$ на всей её области определения ($t > 0$). Поскольку функция монотонна (строго возрастает при $a>1$ или строго убывает при $0<a<1$), каждое своё значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, равенство значений функции ($log_a(f(x)) = log_a(g(x))$) возможно тогда и только тогда, когда равны их аргументы ($f(x) = g(x)$), при условии, что эти аргументы входят в область определения логарифма (т.е. являются положительными).

Ответ: Применяется теорема о равносильности, которая утверждает, что уравнение $log_a(f(x)) = log_a(g(x))$ эквивалентно системе, состоящей из равенства подлогарифмических выражений $f(x) = g(x)$ и условий их положительности $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Следствие

На практике при решении логарифмических уравнений чаще используют важное следствие из этой теоремы, которое позволяет упростить систему. Следствие заключается в том, что нет необходимости проверять оба неравенства $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ одновременно.

Если мы находим решения уравнения $f(x) = g(x)$ и затем проверяем для этих решений условие положительности для одного из выражений (например, $f(x) > 0$), то для этих же решений второе выражение ($g(x)$) будет автоматически положительным, так как оно равно первому. Таким образом, исходная система может быть заменена на одну из двух более простых равносильных систем (выбирается та, в которой неравенство проще):

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Этот подход значительно сокращает объем вычислений, так как вместо решения двух неравенств из области допустимых значений (ОДЗ) достаточно решить только одно (обычно выбирают то, которое имеет более простой вид).

Ответ: Используется следствие, согласно которому при решении уравнения $log_a(f(x)) = log_a(g(x))$ достаточно к уравнению $f(x) = g(x)$ добавить условие положительности только для одного, более простого из выражений $f(x)$ или $g(x)$.