Страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.33. Найдите область определения функции:

1) $y = \lg (1 - \sin x);$

2) $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^2)};$

3) $y = \sqrt{\lg \cos x};$

4) $y = \frac{1}{\log_6(x - 3)} + \sqrt{6 - x};$

5) $y = \sqrt{\frac{(x + 1)(3 - x)}{\lg(x^2 + 1)}};$

6) $y = \log_5 (x^2 - 4x + 3) + \frac{1}{\log_5 (7 - x)};$

7) $y = \lg(6x - x^2) + \frac{1}{\lg(3 - x)};$

8) $y = \log_{x+3} (x^2 + x).$

1) Область определения функции $y = \lg(1 - \sin x)$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$1 - \sin x > 0$
$\sin x < 1$
Известно, что значение синуса никогда не превышает 1. Равенство $\sin x = 1$ достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, для которых $\sin x = 1$.
Ответ: $x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^2)}$ задается двумя условиями:
1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $1 + x^2 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$.
2. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^2) \ge 0$.
Решим второе неравенство. Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше 1, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$1 + x^2 \le (\frac{1}{3})^0$
$1 + x^2 \le 1$
$x^2 \le 0$
Единственное действительное число, удовлетворяющее этому неравенству, это $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\lg \cos x}$ задается системой неравенств:
$\begin{cases} \lg \cos x \ge 0 \\ \cos x > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство. Так как основание десятичного логарифма 10 больше 1, знак неравенства сохраняется:
$\cos x \ge 10^0$
$\cos x \ge 1$
Учитывая, что область значений функции косинуса $[-1, 1]$, единственное решение неравенства $\cos x \ge 1$ — это $\cos x = 1$. Это решение также удовлетворяет второму условию системы ($\cos x > 0$).
Уравнение $\cos x = 1$ имеет решения $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $y = \frac{1}{\log_6(x - 3)} + \sqrt{6 - x}$ задается системой условий:
$\begin{cases} x - 3 > 0 & \text{(аргумент логарифма положителен)} \\ \log_6(x - 3) \neq 0 & \text{(знаменатель не равен нулю)} \\ 6 - x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \end{cases}$
Решаем систему:
1. $x - 3 > 0 \implies x > 3$
2. $\log_6(x - 3) \neq 0 \implies x - 3 \neq 6^0 \implies x - 3 \neq 1 \implies x \neq 4$
3. $6 - x \ge 0 \implies x \le 6$
Объединяя все условия, получаем, что $x$ должен быть в интервале $(3, 6]$, исключая точку $x=4$.
Ответ: $x \in (3, 4) \cup (4, 6]$.

5) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{(x+1)(3-x)}{\lg(x^2+1)}}$ задается системой условий:
$\begin{cases} \frac{(x+1)(3-x)}{\lg(x^2+1)} \ge 0 \\ \lg(x^2+1) \neq 0 \\ x^2+1 > 0 \end{cases}$
Третье условие $x^2+1 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Второе условие $\lg(x^2+1) \neq 0 \implies x^2+1 \neq 1 \implies x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.
При $x \neq 0$, имеем $x^2 > 0$, следовательно $x^2+1 > 1$. Так как функция $t \mapsto \lg t$ возрастающая, то $\lg(x^2+1) > \lg(1) = 0$. Значит, знаменатель всегда положителен.
Тогда первое неравенство сводится к неотрицательности числителя:
$(x+1)(3-x) \ge 0$
$-(x+1)(x-3) \ge 0$
$(x+1)(x-3) \le 0$
Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-1, 3]$.
Исключаем из этого отрезка точку $x=0$.
Ответ: $x \in [-1, 0) \cup (0, 3]$.

6) Область определения функции $y = \log_5(x^2 - 4x + 3) + \frac{1}{\log_5(7-x)}$ задается системой условий:
$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ 7 - x > 0 \\ \log_5(7-x) \neq 0 \end{cases}$
Решаем каждое условие:
1. $x^2 - 4x + 3 > 0 \implies (x-1)(x-3) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
2. $7 - x > 0 \implies x < 7$.
3. $\log_5(7-x) \neq 0 \implies 7-x \neq 5^0 \implies 7-x \neq 1 \implies x \neq 6$.
Находим пересечение полученных множеств: $( (-\infty, 1) \cup (3, \infty) ) \cap (-\infty, 7) \cap \{x | x \neq 6 \}$.
$(-\infty, 1) \cup (3, 7)$, исключая $x=6$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, 6) \cup (6, 7)$.

7) Область определения функции $y = \lg(6x - x^2) + \frac{1}{\lg(3-x)}$ задается системой условий:
$\begin{cases} 6x - x^2 > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \lg(3-x) \neq 0 \end{cases}$
Решаем каждое условие:
1. $6x - x^2 > 0 \implies x(6-x) > 0$. Решением является интервал $x \in (0, 6)$.
2. $3 - x > 0 \implies x < 3$.
3. $\lg(3-x) \neq 0 \implies 3-x \neq 10^0 \implies 3-x \neq 1 \implies x \neq 2$.
Находим пересечение: $(0, 6) \cap (-\infty, 3) \cap \{x | x \neq 2 \}$.
Пересечение $(0, 6)$ и $(-\infty, 3)$ дает интервал $(0, 3)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x=2$.
Ответ: $x \in (0, 2) \cup (2, 3)$.

8) Область определения функции $y = \log_{x+3}(x^2 + x)$ с переменным основанием задается системой условий:
$\begin{cases} x^2 + x > 0 & \text{(аргумент положителен)} \\ x + 3 > 0 & \text{(основание положительно)} \\ x + 3 \neq 1 & \text{(основание не равно 1)} \end{cases}$
Решаем систему:
1. $x^2 + x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.
2. $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
3. $x + 3 \neq 1 \implies x \neq -2$.
Находим пересечение множеств. Из условия $x > -3$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$ получаем $x \in (-3, -1) \cup (0, \infty)$.
Теперь учтем условие $x \neq -2$. Точка $-2$ принадлежит интервалу $(-3, -1)$, поэтому ее нужно исключить.
Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, -1) \cup (0, \infty)$.

5.34. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{\lg(x^2 + 1)};$

2) $y = \lg(1 + \sin x);$

3) $y = \sqrt{\lg(1 + x^2)};$

4) $y = \sqrt{\lg \sin x};$

5) $y = \lg(x + 8) - \frac{5}{\lg(-x - 1)};$

6) $y = \lg(10x - x^2) - \frac{1}{\lg(8 - x)};$

7) $y = \frac{x}{\lg(4 - x^2)};$

8) $y = \lg(9x - x^2) - \frac{1}{\lg(5 - x)};$

9) $y = \log_{2-x}(8 + 7x - x^2);$

10) $y = \sqrt{\frac{(x + 5)(2 - x)}{\lg(x^2 + 1)}}.$

1) Область определения функции $y = \frac{1}{\lg(x^2 + 1)}$ находится из следующих условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2 + 1 > 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\lg(x^2 + 1) \neq 0$.

Рассмотрим первое условие: $x^2 + 1 > 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, это условие выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим второе условие: $\lg(x^2 + 1) \neq 0$. Это эквивалентно тому, что $x^2 + 1 \neq 10^0$, то есть $x^2 + 1 \neq 1$. Отсюда получаем $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Объединяя условия, получаем, что область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \lg(1 + \sin x)$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$1 + \sin x > 0$

$\sin x > -1$

Мы знаем, что значение функции синуса лежит в диапазоне $[-1, 1]$. Неравенство $\sin x > -1$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, для которых $\sin x = -1$.

Уравнение $\sin x = -1$ имеет решения $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{\lg(1 + x^2)}$ находится из следующих условий:

1. По-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\lg(1 + x^2) \ge 0$.

2. Во-вторых, аргумент логарифма должен быть строго положительным: $1 + x^2 > 0$.

Рассмотрим второе условие: $1 + x^2 > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $1+x^2 \ge 1$. Условие выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим первое условие: $\lg(1 + x^2) \ge 0$. Это неравенство эквивалентно $1 + x^2 \ge 10^0$, то есть $1 + x^2 \ge 1$.

$x^2 \ge 0$

Это неравенство также выполняется для любого действительного числа $x$.

Так как оба условия выполняются для всех $x \in \mathbb{R}$, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \sqrt{\lg \sin x}$ находится из системы неравенств:

$\begin{cases} \lg \sin x \ge 0 \\ \sin x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства $\lg \sin x \ge 0$ следует, что $\sin x \ge 10^0$, то есть $\sin x \ge 1$.

Из второго неравенства имеем $\sin x > 0$.

Объединяя условие $\sin x \ge 1$ с известным свойством функции синуса $(\sin x \le 1)$, получаем единственное возможное значение: $\sin x = 1$.

Значение $\sin x = 1$ удовлетворяет и второму условию системы ($\sin x > 0$).

Находим все $x$, для которых $\sin x = 1$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Функция $y = \lg(x + 8) - \frac{5}{\lg(-x - 1)}$ определена, если выполнены следующие условия:

1. Аргумент первого логарифма положителен: $x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8$.

2. Аргумент второго логарифма положителен: $-x - 1 > 0 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1$.

3. Знаменатель не равен нулю: $\lg(-x - 1) \neq 0 \Rightarrow -x - 1 \neq 1 \Rightarrow -x \neq 2 \Rightarrow x \neq -2$.

Объединяем все условия в систему:

$\begin{cases} x > -8 \\ x < -1 \\ x \neq -2 \end{cases}$

Пересечение интервалов $x > -8$ и $x < -1$ дает интервал $(-8, -1)$. Из этого интервала необходимо исключить точку $x = -2$.

Таким образом, получаем объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-8, -2) \cup (-2, -1)$.

6) Область определения функции $y = \lg(10x - x^2) - \frac{1}{\lg(8 - x)}$ задается системой условий:

1. $10x - x^2 > 0 \Rightarrow x(10 - x) > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (0, 10)$.

2. $8 - x > 0 \Rightarrow x < 8$.

3. $\lg(8 - x) \neq 0 \Rightarrow 8 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 7$.

Найдем пересечение всех условий: $x \in (0, 10)$, $x < 8$ и $x \neq 7$.

Пересечение $(0, 10)$ и $(-\infty, 8)$ дает интервал $(0, 8)$. Из этого интервала нужно исключить точку $x = 7$.

Ответ: $x \in (0, 7) \cup (7, 8)$.

7) Область определения функции $y = \frac{x}{\lg(4 - x^2)}$ находится из условий:

1. Аргумент логарифма положителен: $4 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 4 \Rightarrow -2 < x < 2$.

2. Знаменатель не равен нулю: $\lg(4 - x^2) \neq 0 \Rightarrow 4 - x^2 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq 3 \Rightarrow x \neq \sqrt{3}$ и $x \neq -\sqrt{3}$.

Совмещая условия, получаем, что из интервала $(-2, 2)$ нужно исключить точки $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$.

Ответ: $x \in (-2, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2)$.

8) Область определения функции $y = \lg(9x - x^2) - \frac{1}{\lg(5 - x)}$ находится из системы условий:

1. $9x - x^2 > 0 \Rightarrow x(9 - x) > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (0, 9)$.

2. $5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$.

3. $\lg(5 - x) \neq 0 \Rightarrow 5 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 4$.

Найдем пересечение всех условий: $x \in (0, 9)$, $x < 5$ и $x \neq 4$.

Пересечение $(0, 9)$ и $(-\infty, 5)$ дает интервал $(0, 5)$. Из него исключаем точку $x=4$.

Ответ: $x \in (0, 4) \cup (4, 5)$.

9) Область определения функции $y = \log_{2-x}(8 + 7x - x^2)$ задается следующими условиями для логарифма с переменным основанием:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $8 + 7x - x^2 > 0$. Умножим на -1: $x^2 - 7x - 8 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$ это $x_1 = -1, x_2 = 8$. Неравенство $(x+1)(x-8) < 0$ выполняется при $x \in (-1, 8)$.

2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $2 - x \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$.

Найдем пересечение полученных условий: $x \in (-1, 8)$, $x < 2$ и $x \neq 1$.

Пересечение интервала $(-1, 8)$ и луча $(-\infty, 2)$ дает интервал $(-1, 2)$. Из него нужно исключить точку $x=1$.

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (1, 2)$.

10) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{(x + 5)(2 - x)}{\lg(x^2 + 1)}}$ находится из следующих условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{(x + 5)(2 - x)}{\lg(x^2 + 1)} \ge 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg(x^2 + 1) \neq 0 \Rightarrow x^2 + 1 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

3. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2+1 > 0$. Это верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим знак знаменателя $\lg(x^2 + 1)$. При $x \neq 0$, имеем $x^2 > 0$, следовательно $x^2 + 1 > 1$. Тогда $\lg(x^2+1) > \lg(1) = 0$. Значит, знаменатель всегда положителен при $x \neq 0$.

Так как знаменатель дроби положителен, знак всей дроби совпадает со знаком числителя. Таким образом, неравенство сводится к следующему:

$(x + 5)(2 - x) \ge 0$.

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in [-5, 2]$.

Теперь необходимо учесть условие $x \neq 0$. Исключаем точку 0 из отрезка $[-5, 2]$.

Ответ: $x \in [-5, 0) \cup (0, 2]$.

5.35. Постройте график функции:

1) $y = \left| \log_{\frac{1}{2}} x \right|$;

2) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$;

3) $y = \frac{\left| \log_{0.2} x \right|}{\log_{0.2} x}$;

4) $y = \sqrt{\log_{3}^2 x \log_x 3}$.

1) $y = \left|\log_{\frac{1}{2}} x\right|$
Для построения графика этой функции, мы сначала построим график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$, а затем применим преобразование модуля $y = |y_1|$.
1. Построение графика $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$.
Область определения этой функции: $x > 0$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$, следовательно, функция является убывающей.
График проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$.
Найдем еще несколько точек:
- при $x = 2$, $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$.
- при $x = 4$, $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.
- при $x = \frac{1}{2}$, $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.
Ось $y$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
2. Применение модуля: $y = |\log_{\frac{1}{2}} x|$.
Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика $f(x)$, которая находится ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), симметрично отражается относительно этой оси, а часть графика, которая находится выше или на оси абсцисс (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.
Для функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$:
- При $0 < x \le 1$, значения $y_1 \ge 0$. Эта часть графика не меняется.
- При $x > 1$, значения $y_1 < 0$. Эта часть графика отражается симметрично относительно оси $x$. Например, точка $(2, -1)$ переходит в $(2, 1)$, а точка $(4, -2)$ — в $(4, 2)$.
В результате получается график, который совпадает с графиком $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ на интервале $(0, 1]$ и с графиком $y = -\log_{\frac{1}{2}} x = \log_2 x$ на интервале $(1, +\infty)$.
Ответ: График функции расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Он проходит через точку $(1, 0)$, где имеет излом. На интервале $(0, 1]$ график совпадает с графиком убывающей функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. На интервале $(1, +\infty)$ график совпадает с графиком возрастающей функции $y = \log_2 x$.

2) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$
1. Область определения.
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $|x| > 0$. Это выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, область определения функции: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Симметрия.
Функция является четной, так как $y(-x) = \log_{\frac{1}{2}} |-x| = \log_{\frac{1}{2}} |x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси $y$).
3. Построение графика.
Достаточно построить график для $x > 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси $y$.
При $x > 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. Это стандартная убывающая логарифмическая функция, как в пункте 1. График проходит через точки $(1, 0)$, $(\frac{1}{2}, 1)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.
Теперь отражаем эту часть графика относительно оси $y$, чтобы получить часть для $x < 0$. Точка $(1, 0)$ отразится в $(-1, 0)$, точка $(\frac{1}{2}, 1)$ в $(-\frac{1}{2}, 1)$, точка $(2, -1)$ в $(-2, -1)$ и так далее.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $y$. Ось $y$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой для обеих ветвей. Правая ветвь ($x>0$) является графиком функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. Левая ветвь ($x<0$) является ее зеркальным отражением относительно оси $y$.

3) $y = \frac{|\log_{0.2} x|}{\log_{0.2} x}$
1. Анализ функции.
Данное выражение представляет собой функцию знака (сигнус) от $\log_{0.2} x$. Напомним, что $\frac{|a|}{a} = 1$, если $a > 0$, и $\frac{|a|}{a} = -1$, если $a < 0$.
2. Область определения.
- Аргумент логарифма: $x > 0$.
- Знаменатель не равен нулю: $\log_{0.2} x \neq 0$, что означает $x \neq 0.2^0 = 1$.
Итак, область определения: $(0, 1) \cup (1, +\infty)$.
3. Построение графика.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\log_{0.2} x$. Основание логарифма $0.2 < 1$, поэтому функция $f(x) = \log_{0.2} x$ является убывающей.
- Случай 1: $\log_{0.2} x > 0$. Это неравенство выполняется, когда $0 < x < 1$. В этом случае $|\log_{0.2} x| = \log_{0.2} x$, и функция принимает вид $y = \frac{\log_{0.2} x}{\log_{0.2} x} = 1$.
- Случай 2: $\log_{0.2} x < 0$. Это неравенство выполняется, когда $x > 1$. В этом случае $|\log_{0.2} x| = -\log_{0.2} x$, и функция принимает вид $y = \frac{-\log_{0.2} x}{\log_{0.2} x} = -1$.
Таким образом, график состоит из двух частей.
Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей. На интервале $(0, 1)$ это горизонтальная линия $y=1$. На интервале $(1, +\infty)$ это горизонтальная линия $y=-1$. Точки с абсциссой $x=1$ выколоты, так как функция в них не определена.

4) $y = \sqrt{\log_{\frac{2}{3}}^2 x \log_x 3}$
1. Область определения (ОДЗ).
- Из $\log_x 3$ следует, что $x > 0$ и $x \neq 1$.
- Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_{\frac{2}{3}}^2 x \cdot \log_x 3 \ge 0$.
Так как $\log_{\frac{2}{3}}^2 x \ge 0$ для всех $x$ из его области определения, неравенство сводится к $\log_x 3 \ge 0$.
- Если $x > 1$ (основание больше 1), то функция $\log_x t$ возрастающая. $\log_x 3 \ge \log_x 1 = 0$, что верно, так как $3 \ge 1$.
- Если $0 < x < 1$ (основание меньше 1), то функция $\log_x t$ убывающая. Из $\log_x 3 \ge \log_x 1 = 0$ следует $3 \le 1$, что неверно.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.
2. Упрощение функции.
На ОДЗ ($x > 1$) преобразуем выражение:
$y = \sqrt{(\log_{\frac{2}{3}} x)^2 \cdot \log_x 3} = |\log_{\frac{2}{3}} x| \cdot \sqrt{\log_x 3}$.
Поскольку $x > 1$, а основание $\frac{2}{3} < 1$, то $\log_{\frac{2}{3}} x < 0$. Следовательно, $|\log_{\frac{2}{3}} x| = -\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{(\frac{2}{3})^{-1}} x = \log_{\frac{3}{2}} x$.
Функция принимает вид: $y = (\log_{\frac{3}{2}} x) \cdot \sqrt{\log_x 3}$.
Используем формулу перехода к новому основанию для $\log_x 3 = \frac{\log_{3/2} 3}{\log_{3/2} x}$.
$y = (\log_{\frac{3}{2}} x) \cdot \sqrt{\frac{\log_{3/2} 3}{\log_{3/2} x}} = (\log_{\frac{3}{2}} x) \cdot \frac{\sqrt{\log_{3/2} 3}}{\sqrt{\log_{3/2} x}} = \sqrt{\log_{\frac{3}{2}} x} \cdot \sqrt{\log_{\frac{3}{2}} 3}$.
Итоговая упрощенная функция: $y = \sqrt{(\log_{\frac{3}{2}} 3) \cdot (\log_{\frac{3}{2}} x)}$.
3. Построение графика.
Константа $C = \log_{\frac{3}{2}} 3$ положительна ($C \approx 2.71$). Функция имеет вид $y = \sqrt{C \cdot \log_{\frac{3}{2}} x}$.
- Область определения $x > 1$.
- При $x \to 1^+$, $\log_{\frac{3}{2}} x \to 0^+$, следовательно $y \to 0$. График начинается в точке $(1, 0)$ (точка выколота).
- Так как основание $\frac{3}{2} > 1$, функция $\log_{\frac{3}{2}} x$ возрастает. Корень квадратный из возрастающей функции также является возрастающей функцией.
- При $x \to +\infty$, $\log_{\frac{3}{2}} x \to +\infty$, и $y \to +\infty$.
Ответ: График функции представляет собой кривую, расположенную в первом квадранте. Он начинается из точки $(1, 0)$ (которая не принадлежит графику) и является монотонно возрастающим и вогнутым вниз. Он похож на график функции "квадратный корень", но растянутый по оси абсцисс.

5.36. Постройте график функции:

1) $y = |\log_3 x|$;

2) $y = \log_3 |x|$;

3) $y = \frac{\log_2 x}{\sqrt{\log_2^2 x}}$.

1) $y = |\log_3 x|$

Для построения графика функции $y = |\log_3 x|$ сначала рассмотрим график функции $y = \log_3 x$. Это стандартная логарифмическая функция с основанием 3.

• Область определения: $x > 0$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• График проходит через точки $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$, $(1/3, -1)$.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
• Функция возрастает на всей области определения.

Преобразование $y = |f(x)|$ означает, что часть графика функции $y = f(x)$, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси $Ox$, а часть, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $y \geq 0$), остается без изменений.

Применительно к $y = \log_3 x$:

• На промежутке $x \geq 1$, значения функции $\log_3 x \geq 0$, поэтому эта часть графика остается неизменной.
• На промежутке $0 < x < 1$, значения функции $\log_3 x < 0$, поэтому эта часть графика симметрично отражается относительно оси $Ox$. Например, точка $(1/3, -1)$ перейдет в точку $(1/3, 1)$.

В итоге, график функции $y = |\log_3 x|$ имеет следующие свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Область значений: $[0; +\infty)$.
• График проходит через точку $(1, 0)$ (это точка минимума), а также через точки $(3, 1)$ и $(1/3, 1)$.
• Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой, при $x \to 0^+$ $y \to +\infty$.

Ответ: График получается из графика функции $y = \log_3 x$ путем отражения его части, лежащей под осью $Ox$ (на интервале $(0, 1)$), симметрично относительно этой оси. Часть графика, лежащая над осью $Ox$ (при $x \geq 1$), остается без изменений.

2) $y = \log_3 |x|$

Рассмотрим функцию $y = \log_3 |x|$. Область определения функции задается условием $|x| > 0$, что эквивалентно $x \neq 0$. Таким образом, область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \log_3 |-x| = \log_3 |x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Для построения графика можно сначала построить его для $x > 0$, а затем отразить полученную часть симметрично относительно оси $Oy$.

• При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \log_3 x$. Это стандартная логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$, $(3, 1)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.
• Для $x < 0$, мы отражаем построенную часть графика относительно оси $Oy$. Таким образом, левая ветвь графика будет проходить через точки $(-1, 0)$, $(-3, 1)$ и также будет иметь вертикальную асимптоту $x=0$.

Итоговый график состоит из двух симметричных ветвей.

Ответ: График функции $y = \log_3 |x|$ состоит из двух частей. Для $x > 0$ это график $y = \log_3 x$. Для $x < 0$ это симметричное отражение графика $y = \log_3 x$ относительно оси $Oy$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой для обеих ветвей.

3) $y = \frac{\log_2 x}{\sqrt{\log_2^2 x}}$

Найдем область определения функции.

1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_2^2 x \geq 0$. Это верно для любого действительного значения $\log_2 x$.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{\log_2^2 x} \neq 0$, что означает $\log_2^2 x \neq 0$, и следовательно $\log_2 x \neq 0$. Это выполняется при $x \neq 1$.

Объединяя условия, получаем область определения: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. $y = \frac{\log_2 x}{\sqrt{(\log_2 x)^2}} = \frac{\log_2 x}{|\log_2 x|}$.

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $\log_2 x$:

• Случай 1: $\log_2 x > 0$. Это неравенство выполняется при $x > 1$. В этом случае $|\log_2 x| = \log_2 x$, и функция принимает вид: $y = \frac{\log_2 x}{\log_2 x} = 1$.
• Случай 2: $\log_2 x < 0$. Это неравенство выполняется при $0 < x < 1$. В этом случае $|\log_2 x| = -\log_2 x$, и функция принимает вид: $y = \frac{\log_2 x}{-\log_2 x} = -1$.

Таким образом, график функции состоит из двух частей:

• Горизонтальная прямая $y = -1$ на интервале $(0, 1)$.
• Горизонтальная прямая $y = 1$ на интервале $(1, +\infty)$.

В точке $x=1$ функция не определена, поэтому на графике в этой точке будут "выколотые" точки: $(1, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: График функции представляет собой два горизонтальных луча. На интервале $(0, 1)$ это луч $y = -1$ с выколотой точкой на правом конце $(1, -1)$. На интервале $(1, +\infty)$ это луч $y = 1$ с выколотой точкой на левом конце $(1, 1)$.

5.37. Упростите выражение $\sqrt{\frac{a - 2\sqrt{a-1}}{a + 2\sqrt{a-1}}} + \sqrt{\frac{a + 2\sqrt{a-1}}{a - 2\sqrt{a-1}}} - \frac{4}{\sqrt{a^2 - 4a + 4}}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$. Выражение $\sqrt{a-1}$ требует, чтобы $a-1 \ge 0$, то есть $a \ge 1$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Знаменатель $a - 2\sqrt{a-1}$ обращается в ноль при $a=2$. Знаменатель $\sqrt{a^2-4a+4} = |a-2|$ также равен нулю при $a=2$. Таким образом, ОДЗ: $a \ge 1$ и $a \neq 2$.

Упростим данное выражение. Преобразуем выражения под знаками больших корней, выделив полные квадраты: $a \pm 2\sqrt{a-1} = (a-1) \pm 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1} \pm 1)^2$.

Тогда исходное выражение примет вид:

$\sqrt{\frac{(\sqrt{a-1} - 1)^2}{(\sqrt{a-1} + 1)^2}} + \sqrt{\frac{(\sqrt{a-1} + 1)^2}{(\sqrt{a-1} - 1)^2}} - \frac{4}{\sqrt{(a-2)^2}}$

Используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:

$\frac{|\sqrt{a-1} - 1|}{|\sqrt{a-1} + 1|} + \frac{|\sqrt{a-1} + 1|}{|\sqrt{a-1} - 1|} - \frac{4}{|a-2|}$

Поскольку $a \ge 1$, то $\sqrt{a-1} \ge 0$ и $\sqrt{a-1}+1 > 0$, следовательно $|\sqrt{a-1}+1| = \sqrt{a-1}+1$. Выражение упрощается до:

$\frac{|\sqrt{a-1} - 1|}{\sqrt{a-1} + 1} + \frac{\sqrt{a-1} + 1}{|\sqrt{a-1} - 1|} - \frac{4}{|a-2|}$

Для раскрытия оставшихся модулей рассмотрим два случая, на которые ОДЗ разбивается точкой $a=2$.

Случай 1: $a > 2$

При $a > 2$ имеем $\sqrt{a-1} > 1$, поэтому $\sqrt{a-1}-1 > 0$ и $|\sqrt{a-1}-1| = \sqrt{a-1}-1$. Также $|a-2|=a-2$. Выражение становится:

$\frac{\sqrt{a-1} - 1}{\sqrt{a-1} + 1} + \frac{\sqrt{a-1} + 1}{\sqrt{a-1} - 1} - \frac{4}{a-2}$

Приводя первые два слагаемых к общему знаменателю $(a-2)$, получаем:

$\frac{(\sqrt{a-1} - 1)^2 + (\sqrt{a-1} + 1)^2}{a-2} - \frac{4}{a-2} = \frac{2(a-1+1)}{a-2} - \frac{4}{a-2} = \frac{2a-4}{a-2} = \frac{2(a-2)}{a-2} = 2$.

Случай 2: $1 \le a < 2$

При $1 \le a < 2$ имеем $0 \le \sqrt{a-1} < 1$, поэтому $\sqrt{a-1}-1 < 0$ и $|\sqrt{a-1}-1| = 1-\sqrt{a-1}$. Также $|a-2|=-(a-2)=2-a$. Выражение становится:

$\frac{1-\sqrt{a-1}}{1+\sqrt{a-1}} + \frac{1+\sqrt{a-1}}{1-\sqrt{a-1}} - \frac{4}{2-a}$

Приводя первые два слагаемых к общему знаменателю $(2-a)$, получаем:

$\frac{(1-\sqrt{a-1})^2 + (1+\sqrt{a-1})^2}{2-a} - \frac{4}{2-a} = \frac{2(1+a-1)}{2-a} - \frac{4}{2-a} = \frac{2a-4}{2-a} = \frac{2(a-2)}{-(a-2)} = -2$.

Ответ: $2$ при $a>2$; $-2$ при $1 \le a < 2$.