Страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.16. Решите уравнение:

1) $log_{\sqrt{3}}(2^x - 3) + log_{\sqrt{3}}(2^x - 1) = 2;$

2) $lg(3^x - 4) + lg(3^x - 2) = 1.$

1) $ \log_{\sqrt{3}}(2^x - 3) + \log_{\sqrt{3}}(2^x - 1) = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 2^x - 3 > 0 \\ 2^x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x > 3 \\ 2^x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log_2{3} \\ x > 0 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > \log_2{3} $.

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $ \log_a{b} + \log_a{c} = \log_a{(bc)} $:
$ \log_{\sqrt{3}}{((2^x - 3)(2^x - 1))} = 2 $

По определению логарифма ($ \log_a{b} = c \iff a^c = b $):
$ (2^x - 3)(2^x - 1) = (\sqrt{3})^2 $
$ (2^x - 3)(2^x - 1) = 3 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2^x $. Учитывая ОДЗ, $ t = 2^x > 3 $.
Получаем уравнение:
$ (t - 3)(t - 1) = 3 $
$ t^2 - t - 3t + 3 = 3 $
$ t^2 - 4t = 0 $
$ t(t - 4) = 0 $
Корни уравнения: $ t_1 = 0 $ и $ t_2 = 4 $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 3 $:
$ t_1 = 0 $ не удовлетворяет условию $ 0 > 3 $, это посторонний корень.
$ t_2 = 4 $ удовлетворяет условию $ 4 > 3 $.

Выполним обратную замену:
$ 2^x = 4 $
$ 2^x = 2^2 $
$ x = 2 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($ x > \log_2{3} $).
Так как $ 4 > 3 $, то $ \log_2{4} > \log_2{3} $.
$ 2 > \log_2{3} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 2 $.

2) $ \lg(3^x - 4) + \lg(3^x - 2) = 1 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). $ \lg $ - это десятичный логарифм ($ \log_{10} $).
$ \begin{cases} 3^x - 4 > 0 \\ 3^x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3^x > 4 \\ 3^x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log_3{4} \\ x > \log_3{2} \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > \log_3{4} $.

Используем свойство суммы логарифмов:
$ \lg{((3^x - 4)(3^x - 2))} = 1 $

По определению логарифма:
$ (3^x - 4)(3^x - 2) = 10^1 $
$ (3^x - 4)(3^x - 2) = 10 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 3^x $. Учитывая ОДЗ, $ t = 3^x > 4 $.
Получаем уравнение:
$ (t - 4)(t - 2) = 10 $
$ t^2 - 2t - 4t + 8 = 10 $
$ t^2 - 6t - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44 $
$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11} $
Корни: $ t_1 = 3 + \sqrt{11} $ и $ t_2 = 3 - \sqrt{11} $.

Проверим корни на соответствие условию $ t > 4 $:
$ t_1 = 3 + \sqrt{11} $. Так как $ \sqrt{11} > \sqrt{9} = 3 $, то $ 3 + \sqrt{11} > 3 + 3 = 6 $. Этот корень удовлетворяет условию $ t > 4 $.
$ t_2 = 3 - \sqrt{11} $. Так как $ \sqrt{11} > 3 $, то $ 3 - \sqrt{11} < 0 $. Этот корень не удовлетворяет условию $ t > 4 $, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня $ t = 3 + \sqrt{11} $:
$ 3^x = 3 + \sqrt{11} $
$ x = \log_3{(3 + \sqrt{11})} $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($ x > \log_3{4} $).
Для этого сравним $ 3 + \sqrt{11} $ и $ 4 $.
$ \sqrt{11} $ и $ 1 $.
Так как $ 11 > 1 $, то $ \sqrt{11} > 1 $, следовательно $ 3 + \sqrt{11} > 4 $.
Значит, $ \log_3{(3 + \sqrt{11})} > \log_3{4} $. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \log_3{(3 + \sqrt{11})} $.

6.17. Решите уравнение:

1) $log_{2}^{2} x + 3log_{2} x - 4 = 0;$

2) $log_{3}^{2} x - log_{3} x - 2 = 0;$

3) $lg^{2} x - 2lg x^{2} + 3 = 0;$

4) $log_{5} x + log_{x} 5 = 2,5;$

5) $2log_{\frac{1}{6}} x + 3 \sqrt{log_{\frac{1}{6}} x} - 5 = 0;$

6) $\frac{2}{lg(x + 2) - 3} + \frac{4}{lg(x + 2) + 1} = 1.$

1) Решим уравнение $\log_2^2 x + 3\log_2 x - 4 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$. Введем замену: пусть $t = \log_2 x$.
Уравнение примет вид: $t^2 + 3t - 4 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$
Теперь выполним обратную замену для каждого корня:
1. Если $t_1 = 1$, то $\log_2 x = 1$, откуда $x = 2^1 = 2$.
2. Если $t_2 = -4$, то $\log_2 x = -4$, откуда $x = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.
Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $2; \frac{1}{16}$.

2) Решим уравнение $\log_3^2 x - \log_3 x - 2 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Введем замену: пусть $t = \log_3 x$.
Уравнение превращается в квадратное: $t^2 - t - 2 = 0$.
Решим его. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$
Выполним обратную замену:
1. Если $t_1 = 2$, то $\log_3 x = 2$, откуда $x = 3^2 = 9$.
2. Если $t_2 = -1$, то $\log_3 x = -1$, откуда $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $9; \frac{1}{3}$.

3) Решим уравнение $\lg^2 x - 2\lg x^2 + 3 = 0$. (Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм $\log_{10}$).
ОДЗ: аргументы всех логарифмов должны быть положительны. Из $\lg x$ следует $x > 0$. При этом условии $x^2$ также будет больше нуля. Итак, ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \log_a b$. Так как по ОДЗ $x>0$, мы можем упростить $\lg x^2 = 2\lg x$.
Подставим это в уравнение: $\lg^2 x - 2(2\lg x) + 3 = 0$, что равносильно $\lg^2 x - 4\lg x + 3 = 0$.
Сделаем замену: пусть $t = \lg x$. Получим квадратное уравнение: $t^2 - 4t + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1. Если $t_1 = 1$, то $\lg x = 1$, откуда $x = 10^1 = 10$.
2. Если $t_2 = 3$, то $\lg x = 3$, откуда $x = 10^3 = 1000$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $10; 1000$.

4) Решим уравнение $\log_5 x + \log_x 5 = 2,5$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен, а основание логарифма должно быть положительно и не равно единице. Таким образом, $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$.
Уравнение принимает вид: $\log_5 x + \frac{1}{\log_5 x} = 2,5$.
Введем замену: пусть $t = \log_5 x$. Заметим, что $t \neq 0$, так как $x \neq 1$.
$t + \frac{1}{t} = 2,5$.
Умножим обе части на $t$: $t^2 + 1 = 2,5t$.
$t^2 - 2,5t + 1 = 0$. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = 2$
$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$
Выполним обратную замену:
1. Если $t_1 = 2$, то $\log_5 x = 2$, откуда $x = 5^2 = 25$.
2. Если $t_2 = \frac{1}{2}$, то $\log_5 x = \frac{1}{2}$, откуда $x = 5^{1/2} = \sqrt{5}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Ответ: $25; \sqrt{5}$.

5) Решим уравнение $2\log_{\frac{1}{6}} x + 3\sqrt{\log_{\frac{1}{6}} x} - 5 = 0$.
ОДЗ: во-первых, $x > 0$. Во-вторых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_{\frac{1}{6}} x \ge 0$. Так как основание логарифма $\frac{1}{6}$ меньше 1, логарифм будет неотрицателен, если его аргумент $x$ находится в интервале $(0, 1]$. Итак, ОДЗ: $0 < x \le 1$.
Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{\log_{\frac{1}{6}} x}$. По определению корня, $t \ge 0$. Тогда $\log_{\frac{1}{6}} x = t^2$.
Уравнение принимает вид: $2t^2 + 3t - 5 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 + 7}{4} = 1$
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{4} = \frac{-3 - 7}{4} = -2,5$
Так как мы ввели условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -2,5$ является посторонним. Рассматриваем только $t_1 = 1$.
Выполним обратную замену: $\sqrt{\log_{\frac{1}{6}} x} = 1$.
Возведем обе части в квадрат: $\log_{\frac{1}{6}} x = 1$.
Отсюда $x = (\frac{1}{6})^1 = \frac{1}{6}$.
Найденный корень $x = \frac{1}{6}$ удовлетворяет ОДЗ ($0 < x \le 1$).
Ответ: $\frac{1}{6}$.

6) Решим уравнение $\frac{2}{\lg(x+2) - 3} + \frac{4}{\lg(x+2) + 1} = 1$.
ОДЗ:
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x + 2 > 0 \implies x > -2$.
2. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$\lg(x+2) - 3 \neq 0 \implies \lg(x+2) \neq 3 \implies x+2 \neq 10^3 \implies x \neq 998$.
$\lg(x+2) + 1 \neq 0 \implies \lg(x+2) \neq -1 \implies x+2 \neq 10^{-1} \implies x \neq 0,1 - 2 \implies x \neq -1,9$.
Итак, ОДЗ: $x \in (-2; -1,9) \cup (-1,9; 998) \cup (998; +\infty)$.
Сделаем замену: пусть $t = \lg(x+2)$. Уравнение примет вид: $\frac{2}{t - 3} + \frac{4}{t + 1} = 1$.
Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{2(t+1) + 4(t-3)}{(t-3)(t+1)} = 1$.
$\frac{2t + 2 + 4t - 12}{t^2 + t - 3t - 3} = 1 \implies \frac{6t - 10}{t^2 - 2t - 3} = 1$.
$6t - 10 = t^2 - 2t - 3$.
$t^2 - 8t + 7 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 7$.
Оба корня для $t$ допустимы, так как не обращают в ноль знаменатели ($t \neq 3, t \neq -1$).
Выполним обратную замену:
1. Если $t_1 = 1$, то $\lg(x+2) = 1 \implies x+2 = 10^1 \implies x = 8$.
2. Если $t_2 = 7$, то $\lg(x+2) = 7 \implies x+2 = 10^7 \implies x = 10000000 - 2 = 9999998$.
Оба корня, $x=8$ и $x=9999998$, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $8; 9999998$.

6.18. Решите уравнение:

1) $3\log_{8}^{2}(-x) - 2\log_{8}(-x) - 1 = 0;$

2) $2\log_{7}\sqrt{x} = \log_{7}^{2}x - 6;$

3) $3\log_{3}x + 3\log_{x}3 = 10;$

4) $\frac{\lg x}{\lg x + 2} - \frac{2}{\lg x - 1} = 1.$

1) $3\log_8^2(-x) - 2\log_8(-x) - 1 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\log_8(-x)$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

$-x > 0 \implies x < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_8(-x)$. Тогда уравнение принимает вид:

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $t$.

1. Если $t_1 = 1$, то $\log_8(-x) = 1$. По определению логарифма:

$-x = 8^1$

$-x = 8$

$x_1 = -8$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

2. Если $t_2 = -\frac{1}{3}$, то $\log_8(-x) = -\frac{1}{3}$. По определению логарифма:

$-x = 8^{-1/3} = \frac{1}{8^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$

$-x = \frac{1}{2}$

$x_2 = -\frac{1}{2}$

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $x = -8; x = -\frac{1}{2}$.

2) $2\log_7 \sqrt{x} = \log_7^2 x - 6$

Определим ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$.

$2\log_7 x^{1/2} = \log_7^2 x - 6$

$2 \cdot \frac{1}{2} \log_7 x = \log_7^2 x - 6$

$\log_7 x = \log_7^2 x - 6$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\log_7 x$:

$\log_7^2 x - \log_7 x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_7 x$.

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -6$

Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 3$, то $\log_7 x = 3$.

$x_1 = 7^3 = 343$.

Корень удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

2. Если $t_2 = -2$, то $\log_7 x = -2$.

$x_2 = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.

Корень удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x = 343; x = \frac{1}{49}$.

3) $3\log_3 x + 3\log_{3x} 3 = 10$

Определим ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $x > 0$.

2. Основание логарифма: $3x > 0$ и $3x \neq 1$. Отсюда $x > 0$ и $x \neq \frac{1}{3}$.

Итак, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq \frac{1}{3}$.

Используем формулу перехода к новому основанию для второго слагаемого: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.

$\log_{3x} 3 = \frac{1}{\log_3 (3x)}$

Теперь используем свойство логарифма произведения: $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$.

$\log_3 (3x) = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x$.

Подставим все в исходное уравнение:

$3\log_3 x + \frac{3}{1 + \log_3 x} = 10$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Заметим, что $1 + t \neq 0$, так как $t = -1$ соответствует $x = 1/3$, что не входит в ОДЗ.

$3t + \frac{3}{1+t} = 10$

Умножим обе части уравнения на $(1+t)$:

$3t(1+t) + 3 = 10(1+t)$

$3t + 3t^2 + 3 = 10 + 10t$

$3t^2 - 7t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 49 + 84 = 133$

$t_1 = \frac{7 + \sqrt{133}}{6}$

$t_2 = \frac{7 - \sqrt{133}}{6}$

Выполним обратную замену:

1. $\log_3 x = \frac{7 + \sqrt{133}}{6} \implies x_1 = 3^{\frac{7 + \sqrt{133}}{6}}$

2. $\log_3 x = \frac{7 - \sqrt{133}}{6} \implies x_2 = 3^{\frac{7 - \sqrt{133}}{6}}$

Оба корня являются положительными числами и не равны $1/3$, поэтому удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = 3^{\frac{7 + \sqrt{133}}{6}}; x = 3^{\frac{7 - \sqrt{133}}{6}}$.

4) $\frac{\lg x}{\lg x + 2} - \frac{2}{\lg x - 1} = 1$

Определим ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $x > 0$.

2. Знаменатели дробей не равны нулю:

$\lg x + 2 \neq 0 \implies \lg x \neq -2 \implies x \neq 10^{-2} \implies x \neq 0.01$

$\lg x - 1 \neq 0 \implies \lg x \neq 1 \implies x \neq 10^1 \implies x \neq 10$

Итак, ОДЗ: $x > 0, x \neq 0.01, x \neq 10$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда $t \neq -2$ и $t \neq 1$.

$\frac{t}{t+2} - \frac{2}{t-1} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(t+2)(t-1)$:

$\frac{t(t-1) - 2(t+2)}{(t+2)(t-1)} = 1$

$t(t-1) - 2(t+2) = (t+2)(t-1)$

$t^2 - t - 2t - 4 = t^2 - t + 2t - 2$

$t^2 - 3t - 4 = t^2 + t - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$-3t - 4 = t - 2$

$-4t = 2$

$t = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Полученное значение $t = -0.5$ не равно $-2$ и $1$.

Выполним обратную замену:

$\lg x = -\frac{1}{2}$

$x = 10^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $x = \frac{1}{\sqrt{10}} > 0$, не равен $0.01$ и не равен $10$. Корень подходит.

Ответ: $x = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

6.19. Решите уравнение:

1) $\frac{2\lg x}{\lg (8x - 7)} = 1;$

2) $\frac{\log_4 (x^2 + x - 2) - 1}{\log_4 (x - 1)} = 0;$

3) $\log_x (2x^2 - 7x + 12) = 2;$

4) $\log_{x + 1} (x + 3) = 2;$

5) $\log_{x - 2} (2x^2 - 11x + 16) = 2.$

1) $\frac{2\lg x}{\lg(8x - 7)} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.
2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть больше нуля: $8x - 7 > 0 \Rightarrow 8x > 7 \Rightarrow x > \frac{7}{8}$.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg(8x - 7) \neq 0 \Rightarrow 8x - 7 \neq 10^0 \Rightarrow 8x - 7 \neq 1 \Rightarrow 8x \neq 8 \Rightarrow x \neq 1$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (\frac{7}{8}; 1) \cup (1; +\infty)$.

Решаем уравнение:
$2\lg x = \lg(8x - 7)$
$\lg(x^2) = \lg(8x - 7)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x^2 = 8x - 7$
$x^2 - 8x + 7 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$.
Корень $x_2 = 7$ входит в ОДЗ.
Ответ: 7

2) $\frac{\log_4(x^2 + x - 2) - 1}{\log_4(x - 1)} = 0$

Найдем ОДЗ:
1. $x^2 + x - 2 > 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$.
2. $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.
3. $\log_4(x - 1) \neq 0 \Rightarrow x - 1 \neq 4^0 \Rightarrow x - 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ.
Приравниваем числитель к нулю:
$\log_4(x^2 + x - 2) - 1 = 0$
$\log_4(x^2 + x - 2) = 1$
$x^2 + x - 2 = 4^1$
$x^2 + x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = -3$ не входит в ОДЗ.
Корень $x_2 = 2$ не входит в ОДЗ.
Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: нет корней

3) $\log_x(2x^2 - 7x + 12) = 2$

Найдем ОДЗ:
1. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $2x^2 - 7x + 12 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 49 - 96 = -47$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение $2x^2 - 7x + 12$ положительно при любых $x$.
ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

По определению логарифма:
$2x^2 - 7x + 12 = x^2$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 3; 4

4) $\log_{x+1}(x + 3) = 2$

Найдем ОДЗ:
1. Основание логарифма: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$ и $x+1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0$.
2. Аргумент логарифма: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

По определению логарифма:
$x + 3 = (x+1)^2$
$x + 3 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ входит в ОДЗ.
Корень $x_2 = -2$ не входит в ОДЗ.
Ответ: 1

5) $\log_{x-2}(2x^2 - 11x + 16) = 2$

Найдем ОДЗ:
1. Основание логарифма: $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$ и $x-2 \neq 1 \Rightarrow x \neq 3$.
2. Аргумент логарифма: $2x^2 - 11x + 16 > 0$. Найдем дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 121 - 128 = -7$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение положительно при любых $x$.
ОДЗ: $x \in (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

По определению логарифма:
$2x^2 - 11x + 16 = (x-2)^2$
$2x^2 - 11x + 16 = x^2 - 4x + 4$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$.
Корень $x_2 = 4$ входит в ОДЗ.
Ответ: 4

6.20. Решите уравнение:

1) $\frac{2\log_2 x}{\log_2 (3 - 2x)} = 1;$

2) $\frac{\log_5 (x^2 - 9x + 25) - 1}{\lg (x - 3)} = 0;$

3) $\log_{x - 1} (x^2 - 5x + 7) = 1;$

4) $\log_x (x + 6) = 2;$

5) $\log_{2x - 3} (3x^2 - 7x + 3) = 2.$

1) Дано уравнение $\frac{2\log_2 x}{\log_2(3-2x)} = 1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны, а знаменатель не должен быть равен нулю.
Система условий:
1. $x > 0$
2. $3 - 2x > 0 \implies 2x < 3 \implies x < 1.5$
3. $\log_2(3-2x) \neq 0 \implies 3 - 2x \neq 2^0 \implies 3 - 2x \neq 1 \implies 2x \neq 2 \implies x \neq 1$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 1.5)$.
Теперь решим уравнение. Умножим обе части на знаменатель:
$2\log_2 x = \log_2(3-2x)$
Применим свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:
$\log_2 x^2 = \log_2(3-2x)$
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x^2 = 3 - 2x$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Проверим, входят ли корни в ОДЗ.
$x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$.
$x_2 = -3$ не входит в ОДЗ, так как $x > 0$.
Следовательно, у уравнения нет решений.
Ответ: Нет решений.

2) Дано уравнение $\frac{\log_5(x^2-9x+25)-1}{\lg(x-3)} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма в числителе: $x^2-9x+25 > 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 81 - 100 = -19$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение всегда больше нуля.
2. Аргумент логарифма в знаменателе: $x-3 > 0 \implies x > 3$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\lg(x-3) \neq 0 \implies x-3 \neq 10^0 \implies x-3 \neq 1 \implies x \neq 4$.
ОДЗ: $x \in (3; 4) \cup (4; \infty)$.
Приравняем числитель к нулю:
$\log_5(x^2-9x+25) - 1 = 0$
$\log_5(x^2-9x+25) = 1$
По определению логарифма:
$x^2-9x+25 = 5^1$
$x^2-9x+20 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 4$ не входит в ОДЗ.
$x_2 = 5$ входит в ОДЗ ($5 \in (3; 4) \cup (4; \infty)$).
Ответ: 5.

3) Дано уравнение $\log_{x-1}(x^2-5x+7) = 1$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $x^2-5x+7 > 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение всегда больше нуля.
2. Основание логарифма больше нуля: $x-1 > 0 \implies x > 1$.
3. Основание логарифма не равно единице: $x-1 \neq 1 \implies x \neq 2$.
ОДЗ: $x \in (1; 2) \cup (2; \infty)$.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$x^2-5x+7 = (x-1)^1$
$x^2-5x+7 = x-1$
$x^2-6x+8 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 2$ не входит в ОДЗ.
$x_2 = 4$ входит в ОДЗ ($4 \in (1; 2) \cup (2; \infty)$).
Ответ: 4.

4) Дано уравнение $\log_x(x+6) = 2$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $x+6 > 0 \implies x > -6$.
2. Основание логарифма больше нуля: $x > 0$.
3. Основание логарифма не равно единице: $x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; \infty)$.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$x+6 = x^2$
$x^2-x-6=0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 3$ входит в ОДЗ ($3 \in (0; 1) \cup (1; \infty)$).
$x_2 = -2$ не входит в ОДЗ.
Ответ: 3.

5) Дано уравнение $\log_{2x-3}(3x^2-7x+3) = 2$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $3x^2-7x+3 > 0$. Найдем корни $3x^2-7x+3=0$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49-36=13$. Корни $x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}$. Неравенство верно при $x \in (-\infty; \frac{7-\sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{7+\sqrt{13}}{6}; \infty)$.
2. Основание логарифма больше нуля: $2x-3 > 0 \implies x > 1.5$.
3. Основание логарифма не равно единице: $2x-3 \neq 1 \implies 2x \neq 4 \implies x \neq 2$.
Так как $\frac{7+\sqrt{13}}{6} \approx \frac{7+3.6}{6} \approx 1.77$, то пересечение условий $x > 1.5$ и $x \in (-\infty; \frac{7-\sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{7+\sqrt{13}}{6}; \infty)$ дает $x > \frac{7+\sqrt{13}}{6}$.
Итоговое ОДЗ: $x \in (\frac{7+\sqrt{13}}{6}; 2) \cup (2; \infty)$.
Решаем уравнение по определению логарифма:
$3x^2-7x+3 = (2x-3)^2$
$3x^2-7x+3 = 4x^2-12x+9$
$x^2-5x+6 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Проверим корни по ОДЗ:
$x_1 = 2$ не входит в ОДЗ.
$x_2 = 3$. Проверим, входит ли 3 в ОДЗ. $3 > \frac{7+\sqrt{13}}{6} \iff 18 > 7+\sqrt{13} \iff 11 > \sqrt{13} \iff 121 > 13$. Это верно. Также $3 \neq 2$. Значит, $x_2 = 3$ входит в ОДЗ.
Ответ: 3.

6.21. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 6x + 5)(3x - 1)^2 \le 0;$

2) $(x^2 - x - 2)(x^2 - 4x + 3) \ge 0;$

3) $(x + 7)\sqrt{x + x^2 - 20} > 0;$

4) $\frac{x - 1}{x + 1} < x.$

1) $(x^2 - 6x + 5)(3x - 1)^2 \le 0$

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей.
Второй множитель $(3x - 1)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(3x - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.
Произведение будет меньше или равно нулю в двух случаях:
1. Произведение равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x^2 - 6x + 5 = 0$ или $3x - 1 = 0$.
Решим первое уравнение: $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Решим второе уравнение: $3x - 1 = 0 \implies x = 1/3$.
Таким образом, точки $x=1/3$, $x=1$, $x=5$ являются решениями неравенства.
2. Произведение строго меньше нуля. Так как $(3x - 1)^2 > 0$ при $x \ne 1/3$, то для выполнения неравенства $(x^2 - 6x + 5)(3x - 1)^2 < 0$ необходимо, чтобы первый множитель был отрицательным:
$x^2 - 6x + 5 < 0$.
Это квадратичное неравенство. График функции $y = x^2 - 6x + 5$ — это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.
Решением неравенства $x^2 - 6x + 5 < 0$ является интервал $(1, 5)$.
Объединяем все найденные решения: интервал $(1, 5)$ и точки $1$, $5$ и $1/3$. Это дает нам отрезок $[1, 5]$ и точку $1/3$.

Ответ: $x \in [1, 5] \cup \{1/3\}$

2) $(x^2 - x - 2)(x^2 - 4x + 3) \ge 0$

Разложим каждый из квадратных трехчленов на линейные множители.
Для первого трехчлена $x^2 - x - 2$ найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Тогда $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$.
Для второго трехчлена $x^2 - 4x + 3$ найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
Исходное неравенство принимает вид:
$(x + 1)(x - 1)(x - 2)(x - 3) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нанесем на числовую ось корни множителей: $-1, 1, 2, 3$. Эти точки разбивают ось на пять интервалов.
Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+)(+) = +$. Интервал $(3, \infty)$ подходит.
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $(+)(+)(+)(-) = -$. Интервал не подходит.
• При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $(+)(+)(-)(-) = +$. Интервал $(1, 2)$ подходит.
• При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$): $(+)(-)(-)(-) = -$. Интервал не подходит.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-)(-)(-)(-) = +$. Интервал $(-\infty, -1)$ подходит.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки, в которых выражение равно нулю (то есть $-1, 1, 2, 3$), также включаются в решение.
Объединяя все подходящие интервалы и точки, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2] \cup [3, \infty)$

3) $(x+7)\sqrt{x^2 + x - 20} > 0$

Произведение двух множителей положительно, если оба множителя положительны или оба отрицательны.
Множитель $\sqrt{x^2 + x - 20}$ не может быть отрицательным. Значит, он должен быть строго положительным (равенство нулю исключается из-за строгого знака неравенства).
Таким образом, неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 + x - 20 > 0 \\ x + 7 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x^2 + x - 20 > 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 + x - 20 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-1 - 9}{2} = -5$, $x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$.
График $y = x^2 + x - 20$ — парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (4, \infty)$.
Решим второе неравенство: $x + 7 > 0 \implies x > -7$.
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-7, \infty) \cap ((-\infty, -5) \cup (4, \infty))$.
Пересекая $(-7, \infty)$ с $(-\infty, -5)$, получаем $(-7, -5)$.
Пересекая $(-7, \infty)$ с $(4, \infty)$, получаем $(4, \infty)$.
Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-7, -5) \cup (4, \infty)$

4) $\frac{x-1}{x+1} < x$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$\frac{x-1}{x+1} - x < 0$.
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{x-1 - x(x+1)}{x+1} < 0$
$\frac{x-1 - x^2 - x}{x+1} < 0$
$\frac{-x^2 - 1}{x+1} < 0$
Вынесем знак минус из числителя:
$\frac{-(x^2 + 1)}{x+1} < 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{x^2 + 1}{x+1} > 0$
Числитель дроби $x^2+1$ всегда положителен при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно $x^2+1 \ge 1$.
Поскольку числитель всегда положителен, для того чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть положителен.
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Область допустимых значений исходного неравенства: $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$. Найденное решение $x > -1$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x \in (-1, \infty)$