Страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.38. Решите уравнение $ \frac{2x-1}{x+1} + \frac{3x-1}{x+2} = \frac{x-7}{x-1} + 4 $

Исходное уравнение:$$ \frac{2x - 1}{x + 1} + \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{x - 7}{x - 1} + 4 $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1\}$.

Для упрощения уравнения выделим целую часть в каждой дроби. Этот метод позволяет уменьшить степень многочленов в числителях.$$ \frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 2 - 1}{x + 1} = \frac{2(x + 1) - 3}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1} $$$$ \frac{3x - 1}{x + 2} = \frac{3(x + 2) - 6 - 1}{x + 2} = \frac{3(x + 2) - 7}{x + 2} = 3 - \frac{7}{x + 2} $$$$ \frac{x - 7}{x - 1} = \frac{(x - 1) - 6}{x - 1} = 1 - \frac{6}{x - 1} $$

Подставим преобразованные выражения обратно в исходное уравнение:$$ \left(2 - \frac{3}{x + 1}\right) + \left(3 - \frac{7}{x + 2}\right) = \left(1 - \frac{6}{x - 1}\right) + 4 $$

Упростим полученное уравнение, сгруппировав целые числа:$$ 5 - \frac{3}{x + 1} - \frac{7}{x + 2} = 5 - \frac{6}{x - 1} $$Вычтем 5 из обеих частей уравнения:$$ -\frac{3}{x + 1} - \frac{7}{x + 2} = -\frac{6}{x - 1} $$Умножим обе части на $-1$:$$ \frac{3}{x + 1} + \frac{7}{x + 2} = \frac{6}{x - 1} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x + 1)(x + 2)$:$$ \frac{3(x + 2) + 7(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{6}{x - 1} $$$$ \frac{3x + 6 + 7x + 7}{x^2 + 2x + x + 2} = \frac{6}{x - 1} $$$$ \frac{10x + 13}{x^2 + 3x + 2} = \frac{6}{x - 1} $$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):$$ (10x + 13)(x - 1) = 6(x^2 + 3x + 2) $$Раскроем скобки в обеих частях уравнения:$$ 10x^2 - 10x + 13x - 13 = 6x^2 + 18x + 12 $$$$ 10x^2 + 3x - 13 = 6x^2 + 18x + 12 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:$$ (10x^2 - 6x^2) + (3x - 18x) + (-13 - 12) = 0 $$$$ 4x^2 - 15x - 25 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-25) = 225 + 400 = 625 $$Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$$ x_1 = \frac{-(-15) + 25}{2 \cdot 4} = \frac{15 + 25}{8} = \frac{40}{8} = 5 $$$$ x_2 = \frac{-(-15) - 25}{2 \cdot 4} = \frac{15 - 25}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25 $$

Проверим, входят ли найденные корни в область допустимых значений. ОДЗ: $x \neq -2, x \neq -1, x \neq 1$. Оба корня $x_1 = 5$ и $x_2 = -1.25$ удовлетворяют этому условию.

Ответ: $5; -1.25$.

5.39. Решите неравенство $ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x} \le \frac{2}{x+2} $.

Для решения данного неравенства перенесем все его члены в левую часть и приведем их к общему знаменателю.

$$ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x} \le \frac{2}{x+2} $$ $$ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \le 0 $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-2)(x+2)$: $$ \frac{x(x+2) - (x-2)(x+2) - 2x(x-2)}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $$ \frac{(x^2+2x) - (x^2-4) - (2x^2-4x)}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$ $$ \frac{x^2+2x - x^2+4 - 2x^2+4x}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$ $$ \frac{-2x^2 + 6x + 4}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$

Чтобы упростить неравенство, вынесем множитель -2 из числителя: $$ \frac{-2(x^2 - 3x - 2)}{x(x-2)(x+2)} \le 0 $$ Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$ \frac{x^2 - 3x - 2}{x(x-2)(x+2)} \ge 0 $$

Теперь решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.
1) Корни числителя находятся из уравнения $x^2 - 3x - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$. Эти точки будут включены в решение (закрашенные точки), так как неравенство нестрогое.
2) Корни знаменателя находятся из уравнения $x(x-2)(x+2) = 0$.
Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = 2$, $x_5 = -2$. Эти точки будут исключены из решения (выколотые точки), так как они не входят в ОДЗ.

Отметим все найденные корни на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах.
Для этого расположим корни в порядке возрастания. Оценим значения корней числителя: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 - 4.12}{2} \approx -0.56$.
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{3 + 4.12}{2} \approx 3.56$.
Порядок корней на оси: $-2$, $\frac{3 - \sqrt{17}}{2}$, $0$, $2$, $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$.

Проверим знак выражения $f(x) = \frac{x^2 - 3x - 2}{x(x-2)(x+2)}$ в крайнем правом интервале, например, при $x = 4$:
$f(4) = \frac{4^2 - 3 \cdot 4 - 2}{4(4 - 2)(4 + 2)} = \frac{16 - 12 - 2}{4 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{2}{48} > 0$.
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться. Нас интересуют промежутки, где $f(x) \ge 0$.
- Интервал $(-\infty; -2)$: знак минус.
- Интервал $(-2; \frac{3-\sqrt{17}}{2}]$: знак плюс.
- Интервал $[\frac{3-\sqrt{17}}{2}; 0)$: знак минус.
- Интервал $(0; 2)$: знак плюс.
- Интервал $(2; \frac{3+\sqrt{17}}{2}]$: знак минус.
- Интервал $[\frac{3+\sqrt{17}}{2}; +\infty)$: знак плюс.

Выбираем интервалы со знаком "плюс", включая концы, принадлежащие корням числителя, и исключая концы, принадлежащие корням знаменателя.

Ответ: $x \in (-2, \frac{3-\sqrt{17}}{2}] \cup (0, 2) \cup [\frac{3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$.