Страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют логарифмической?

1. Какую функцию называют логарифмической?

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой $y = \log_a x$, где $a$ — заданное число, называемое основанием логарифма. Эта функция определена для всех положительных значений $x$.

Основание логарифма $a$ должно удовлетворять следующим условиям:

• Оно должно быть положительным числом: $a > 0$.
• Оно не должно быть равно единице: $a \neq 1$.

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является обратной к показательной функции $y = a^x$. Это означает, что равенство $y = \log_a x$ эквивалентно равенству $a^y = x$ для любого $x > 0$. Другими словами, логарифм числа $x$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $x$.

Ключевые свойства логарифмической функции:

• Область определения: Множество всех положительных действительных чисел. Записывается как $D(f) = (0; +\infty)$. Это означает, что аргумент логарифма $x$ должен быть строго больше нуля.
• Область значений: Множество всех действительных чисел. Записывается как $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: Поведение функции зависит от основания $a$:
  • Если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей на всей области определения.
  • Если основание $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей на всей области определения.

Ответ: Логарифмической функцией называют функцию вида $y = \log_a x$, где $a$ — основание логарифма, являющееся заданным числом, для которого выполняются условия $a > 0$ и $a \neq 1$.

2. Сформулируйте свойства логарифмической функции.

Логарифмическая функция — это функция вида $y = \log_a(x)$, где $a$ — основание логарифма, причем $a > 0$ и $a \neq 1$. Основные свойства этой функции следующие:

1. Область определения
Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел. Это связано с тем, что по определению логарифм существует только для положительных чисел.
Математическая запись: $D(f) = (0; +\infty)$.
Ответ: Множество всех положительных действительных чисел, то есть интервал $(0; +\infty)$.

2. Область значений
Областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел. То есть, логарифм может принимать любое значение от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Математическая запись: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: Множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции и точка пересечения с осями
Логарифмическая функция обращается в ноль, когда ее аргумент равен единице, то есть $\log_a(1) = 0$ для любого допустимого основания $a$. Это означает, что график любой логарифмической функции всегда пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке с координатами $(1; 0)$. График не пересекает ось ординат ($Oy$).
Ответ: Функция равна нулю при $x=1$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(1; 0)$ и не пересекает ось $Oy$.

4. Монотонность
Характер монотонности функции зависит от значения ее основания $a$:
- Если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: если $x_2 > x_1$, то $\log_a(x_2) > \log_a(x_1)$.
- Если основание $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: если $x_2 > x_1$, то $\log_a(x_2) < \log_a(x_1)$.
Ответ: Функция возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$.

5. Знакопостоянство
Интервалы, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения, также зависят от основания $a$:
- При $a > 1$: функция положительна ($\log_a(x) > 0$) при $x > 1$ и отрицательна ($\log_a(x) < 0$) при $0 < x < 1$.
- При $0 < a < 1$: функция положительна ($\log_a(x) > 0$) при $0 < x < 1$ и отрицательна ($\log_a(x) < 0$) при $x > 1$.
Ответ: При $a > 1$ функция положительна для $x \in (1; +\infty)$ и отрицательна для $x \in (0; 1)$. При $0 < a < 1$ наоборот.

6. Непрерывность и дифференцируемость
Логарифмическая функция является непрерывной и дифференцируемой на всей своей области определения $(0; +\infty)$. Ее производная находится по формуле: $(\log_a(x))' = \frac{1}{x \ln a}$.
Ответ: Функция непрерывна и дифференцируема на интервале $(0; +\infty)$.

7. Асимптоты
График логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту — ось ординат ($Oy$), уравнение которой $x=0$. Поведение функции вблизи асимптоты зависит от основания:
- При $a > 1$, $\lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = -\infty$.
- При $0 < a < 1$, $\lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = +\infty$.
Горизонтальных и наклонных асимптот у функции нет.
Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$).

8. Четность и нечетность
Область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной. Она относится к функциям общего вида.
Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

9. Взаимосвязь с показательной функцией
Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ и показательная функция $y = a^x$ с одинаковым основанием $a$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$.
Ответ: Логарифмическая функция является обратной к показательной функции с тем же основанием.

5.1. Возрастающей или убывающей является функция:

1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x;$

2) $y = \log_3 x;$

3) $y = \log_{0.1} x;$

4) $y = \lg x,$

5) $y = \log_{\sqrt{5}} x;$

6) $y = \log_{\frac{\pi}{3}} x;$

7) $y = \log_{\sqrt{2}-1} x;$

8) $y = \log_{\frac{\pi}{6}} x?$

Для определения, является ли логарифмическая функция $y = \log_a x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения $(0; +\infty)$.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения $(0; +\infty)$.

1) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$. Поскольку $0 < \frac{1}{2} < 1$, основание находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

2) $y = \log_3 x$

Основание логарифма $a = 3$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

3) $y = \log_{0.1} x$

Основание логарифма $a = 0.1$. Поскольку $0 < 0.1 < 1$, основание находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4) $y = \lg x$

Функция $y = \lg x$ является десятичным логарифмом, то есть $y = \log_{10} x$. Основание логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

5) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

Основание логарифма $a = \sqrt{5}$. Чтобы сравнить основание с единицей, заметим, что $5 > 1$, а значит $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

6) $y = \log_{\frac{\pi}{3}} x$

Основание логарифма $a = \frac{\pi}{3}$. Используя приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$, получаем $a = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14159}{3} > 1$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

7) $y = \log_{\sqrt{2}-1} x$

Основание логарифма $a = \sqrt{2}-1$. Используя приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем $a \approx 1.414 - 1 = 0.414$. Так как $0 < a < 1$, основание находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

8) $y = \log_{\frac{\pi}{6}} x$

Основание логарифма $a = \frac{\pi}{6}$. Используя приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$, получаем $a \approx \frac{3.14159}{6} \approx 0.524$. Так как $0 < a < 1$, основание находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

5.2. На основании какого свойства логарифмической функции можно утверждать, что:

1) $ \lg 7 > \lg 5 $;

2) $ \log_{0.6} 4 < \log_{0.6} 3 $?

1) $\lg 7 > \lg 5$
Данное утверждение можно сделать на основании свойства монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$. В данном неравенстве используется десятичный логарифм, который имеет основание $a = 10$.
Поскольку основание логарифма больше единицы ($a = 10 > 1$), логарифмическая функция $y = \lg x$ является строго возрастающей. Свойство возрастающей функции гласит, что если $x_2 > x_1$, то и $f(x_2) > f(x_1)$.
В нашем случае мы сравниваем аргументы $7$ и $5$. Так как $7 > 5$, то для возрастающей функции $y = \lg x$ справедливо неравенство $\lg 7 > \lg 5$.
Ответ: Утверждение основано на свойстве возрастания логарифмической функции при основании, большем единицы ($a > 1$).

2) $\log_{0.6} 4 < \log_{0.6} 3$
Это утверждение также основано на свойстве монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$. Основание логарифма в этом неравенстве равно $a = 0.6$.
Поскольку основание логарифма больше нуля, но меньше единицы ($0 < a = 0.6 < 1$), логарифмическая функция $y = \log_{0.6} x$ является строго убывающей. Свойство убывающей функции гласит, что если $x_2 > x_1$, то $f(x_2) < f(x_1)$.
В нашем случае мы сравниваем аргументы $4$ и $3$. Так как $4 > 3$, то для убывающей функции $y = \log_{0.6} x$ знак неравенства меняется на противоположный, и мы получаем $\log_{0.6} 4 < \log_{0.6} 3$.
Ответ: Утверждение основано на свойстве убывания логарифмической функции при основании, которое больше нуля, но меньше единицы ($0 < a < 1$).