Страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.41. Постройте график функции:

1) $y = \lg \operatorname{tg} x + \lg \operatorname{ctg} x;$

2) $y = \log_x 1;$

3) $y = 3^{\log_3 (x + 3)};$

4) $y = 5^{-\log_5 x};$

5) $y = 10^{\frac{1}{\log_x 10}};$

6) $y = 2^{\log_2 x^2};$

7) $y = \frac{\log_{\frac{1}{2}} x}{\log_{\frac{1}{2}} x};$

8) $y = \log_{\frac{1}{2}} \log_{3 - x} (3 - x)^4;$

9) $y = 2^{\log_4 x^2}.$

1) $y = \lg \tg x + \lg \ctg x$

Для построения графика сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\tg x > 0$ и $\ctg x > 0$.
Это условие выполняется, когда $x$ находится в первой или третьей координатных четвертях.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$y = \lg(\tg x \cdot \ctg x)$
Так как $\tg x \cdot \ctg x = 1$ для всех $x$ из ОДЗ, получаем:
$y = \lg 1 = 0$.

Графиком функции является прямая $y=0$, но существующая только на интервалах, входящих в ОДЗ.

Ответ: График функции — это совокупность интервалов $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, лежащих на оси Ox.

2) $y = \log_x 1$

Найдем ОДЗ. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице:
$x > 0$ и $x \neq 1$.

По определению логарифма, логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю.
$y = 0$.

Следовательно, график функции — это прямая $y=0$ при $x > 0$ и $x \neq 1$.

Ответ: График функции — это луч $(0, +\infty)$ на оси Ox с выколотой точкой $(1, 0)$.

3) $y = 3^{\log_3(x+3)}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x + 3 > 0 \implies x > -3$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим функцию:
$y = x + 3$.

Графиком является прямая $y = x+3$, но только для $x > -3$.

Ответ: График функции — это луч, выходящий из точки $(-3, 0)$ (сама точка выколота) и проходящий через точку $(0, 3)$.

4) $y = 5^{-\log_5 x}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма $x$ должен быть положительным:
$x > 0$.

Упростим выражение, используя свойство степени и основное логарифмическое тождество:
$y = 5^{\log_5(x^{-1})} = 5^{\log_5(\frac{1}{x})} = \frac{1}{x}$.

Графиком является функция $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$.

Ответ: График функции — это ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x}$, расположенная в первой координатной четверти.

5) $y = 10^{\frac{1}{\log_x 10}}$

Найдем ОДЗ. Для знаменателя $\log_x 10$:
1. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице: $x > 0, x \neq 1$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_x 10 \neq 0$, что всегда верно, так как аргумент не равен 1.
Итоговая ОДЗ: $x > 0, x \neq 1$.

Упростим выражение, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{1}{\log_x 10} = \log_{10} x = \lg x$.
Тогда $y = 10^{\lg x}$.
По основному логарифмическому тождеству $y = x$.

Графиком является прямая $y=x$ с учетом ОДЗ.

Ответ: График функции — это луч $y=x$ для $x>0$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

6) $y = 2^{\log_2 x^2}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма $x^2$ должен быть строго положительным:
$x^2 > 0 \implies x \neq 0$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$y = x^2$.

Графиком является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в начале координат, так как $x \neq 0$.

Ответ: График функции — парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

7) $y = \frac{\log_{\frac{1}{2}} x}{\log_{\frac{1}{2}} x}$

Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма $x$ должен быть положительным: $x > 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_{\frac{1}{2}} x \neq 0$, что означает $x \neq (\frac{1}{2})^0$, то есть $x \neq 1$.
Итоговая ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

На всей области определения выражение равно 1.
$y = 1$.

Графиком является прямая $y=1$ с учетом ОДЗ.

Ответ: График функции — это луч $y=1$ для $x>0$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

8) $y = \log_{\frac{1}{2}} \log_{3-x} (3-x)^4$

Найдем ОДЗ. Рассматриваем логарифмы "изнутри":
1. Для внутреннего логарифма $\log_{3-x} (3-x)^4$: основание $3-x$ должно быть положительным и не равным 1.
$3-x > 0 \implies x < 3$.
$3-x \neq 1 \implies x \neq 2$.
2. Для внешнего логарифма $\log_{\frac{1}{2}}(\dots)$: его аргумент $\log_{3-x} (3-x)^4$ должен быть положительным.
Упростим аргумент: $\log_{3-x} (3-x)^4 = 4$.
Так как $4 > 0$, это условие выполняется всегда.
Итоговая ОДЗ: $x < 3$ и $x \neq 2$.

Теперь упростим саму функцию:
$y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} \log_2 2 = -2$.

Графиком является прямая $y=-2$ с учетом ОДЗ.

Ответ: График функции — это прямая $y=-2$ при $x < 3$ с выколотой точкой $(2, -2)$.

9) $y = 2^{\log_4 x^2}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма $x^2$ должен быть строго положительным:
$x^2 > 0 \implies x \neq 0$.

Упростим выражение. Воспользуемся свойством $a^{\log_{a^k} b} = b^{\frac{1}{k}}$.
$y = 2^{\log_{2^2} x^2} = (x^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x^2} = |x|$.

Другой способ упрощения:
$y = 2^{\frac{\log_2 x^2}{\log_2 4}} = 2^{\frac{2\log_2|x|}{2}} = 2^{\log_2|x|} = |x|$.

Графиком является функция $y=|x|$ с выколотой точкой в начале координат, так как $x \neq 0$.

Ответ: График функции — это график модуля $y=|x|$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

4.42. Постройте график функции:

1) $y = 7^{\log_7 (x+2)}$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} (x-1)}$;

3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 x^2}$;

4) $y = \log_x x$;

5) $y = \frac{\lg(x^2+1)}{\lg(x^2+1)}$;

6) $y = x^{\log_x 2x}$;

7) $y = \log_3 \log_{x+1} (x+1)^{27}$;

8) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x-2) \cdot \log_{x-2} 3$;

1) Исходная функция: $y = 7^{\log_7(x+2)}$.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим функцию: $y = x+2$.

Таким образом, график функции — это часть прямой $y=x+2$, для которой выполняется условие $x > -2$. Это луч с выколотой начальной точкой. Найдем координаты этой точки, подставив $x=-2$ в уравнение прямой: $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$ выколота.

Ответ: Графиком функции является луч, заданный уравнением $y = x+2$, с выколотой начальной точкой $(-2, 0)$.

2) Исходная функция: $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}(x-1)}$.

Область определения функции: аргумент логарифма $x-1$ должен быть больше нуля, то есть $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $y = x-1$.

График функции — это часть прямой $y=x-1$ при $x > 1$. Это луч с выколотой начальной точкой. Координаты начальной точки: $x=1$, $y=1-1=0$. Точка $(1, 0)$ выколота.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x-1$ с выколотой начальной точкой $(1, 0)$.

3) Исходная функция: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 x^2}$.

Область определения: аргумент логарифма $x^2$ должен быть строго положителен: $x^2 > 0$, что выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Преобразуем функцию, используя свойства степеней и логарифмов: $y = \left(2^{-1}\right)^{\log_2 x^2} = 2^{-\log_2 x^2} = 2^{\log_2 (x^2)^{-1}} = (x^2)^{-1} = \frac{1}{x^2}$.

График функции — это гипербола $y = \frac{1}{x^2}$, которая определена для всех $x$, кроме $x=0$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси OY. Ветви графика находятся в первом и втором координатных квадрантах, асимптотически приближаясь к осям координат.

Ответ: График функции — это график $y=\frac{1}{x^2}$ с областью определения $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

4) Исходная функция: $y = \log_x x$.

Область определения логарифма $\log_b a$ требует выполнения условий: $a > 0$ (аргумент больше нуля), $b > 0$ (основание больше нуля) и $b \neq 1$ (основание не равно единице). В нашем случае $a=x$ и $b=x$. Получаем систему условий: $\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

По свойству логарифма $\log_b b = 1$, функция упрощается до $y=1$.

График функции — это горизонтальная прямая $y=1$, из которой удалены все точки, не входящие в ОДЗ. То есть это два луча: один на интервале $(0, 1)$, другой на интервале $(1, +\infty)$. На графике будет выколота точка $(1, 1)$, и он будет начинаться от оси OY (не включая ее).

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с выколотой точкой $(1, 1)$, определенная для $x > 0$.

5) Исходная функция: $y = \frac{\lg(x^2+1)}{\lg(x^2+1)}$.

Область определения: 1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2+1 > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, это неравенство выполняется для любого действительного $x$. 2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg(x^2+1) \neq 0$. Это означает $x^2+1 \neq 10^0$, то есть $x^2+1 \neq 1$, откуда $x^2 \neq 0$, следовательно $x \neq 0$. ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

На всей области определения числитель и знаменатель равны и не равны нулю, поэтому дробь можно сократить: $y=1$.

График функции — это горизонтальная прямая $y=1$ с выколотой точкой при $x=0$. Координаты выколотой точки — $(0, 1)$.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

6) Исходная функция: $y = x^{\log_x 2x}$.

Область определения определяется выражением в показателе степени, то есть логарифмом $\log_x 2x$. 1. Аргумент логарифма: $2x > 0 \implies x > 0$. 2. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упрощаем функцию: $y = 2x$.

График функции — это часть прямой $y=2x$, определенная на ОДЗ. Это луч, начинающийся в точке $(0, 0)$ (выколота), с выколотой точкой при $x=1$. Координаты второй выколотой точки: $y = 2 \cdot 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ выколота.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x$, определенная на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$, то есть с выколотыми точками $(0,0)$ и $(1,2)$.

7) Исходная функция: $y = \log_3 \log_{x+1} (x+1)^{27}$.

Найдем ОДЗ. Она определяется вложенным логарифмом $\log_{x+1} (x+1)^{27}$. 1. Основание: $x+1 > 0$ и $x+1 \neq 1$, то есть $x > -1$ и $x \neq 0$. 2. Аргумент: $(x+1)^{27} > 0$, что эквивалентно $x+1 > 0$, или $x > -1$. Также аргумент внешнего логарифма $\log_3(\dots)$ должен быть положителен. Упростим внутренний логарифм по свойству $\log_b b^c = c$: $\log_{x+1} (x+1)^{27} = 27$. Так как $27 > 0$, это условие выполнено. Итоговая ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Подставим упрощенное выражение в исходную функцию: $y = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$.

График функции — это горизонтальная прямая $y=3$, определенная на ОДЗ. Это луч, начинающийся от $x=-1$ (не включая) с выколотой точкой при $x=0$. Выколотые точки имеют координаты $(-1, 3)$ и $(0, 3)$.

Ответ: Графиком является прямая $y=3$, определенная на множестве $(-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

8) Исходная функция: $y = \log_{\frac{1}{3}}(x-2) \cdot \log_{x-2} \frac{1}{3}$.

Найдем ОДЗ. Для $\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$ требуется $x-2 > 0 \implies x > 2$. Для $\log_{x-2} \frac{1}{3}$ требуется, чтобы основание $x-2$ было положительным и не равнялось единице: $x-2 > 0$ и $x-2 \neq 1$, что дает $x > 2$ и $x \neq 3$. ОДЗ: $x \in (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Тогда $\log_{x-2} \frac{1}{3} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}(x-2)}$. Подставим это в функцию: $y = \log_{\frac{1}{3}}(x-2) \cdot \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}(x-2)}$. На всей ОДЗ $\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$ не равен нулю, так как $x-2 \neq 1$. Поэтому можно сократить дробь: $y=1$.

График функции — это горизонтальная прямая $y=1$, определенная на ОДЗ. Это луч, начинающийся от $x=2$ (не включая) с выколотой точкой при $x=3$. Координаты выколотых точек: $(2, 1)$ и $(3, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$, определенная на множестве $(2, 3) \cup (3, +\infty)$.

4.43. Какая из функций, график которой изображён на рисунке 4.5, является обратимой?

Рис. 4.5

а

$y$
$x$
$0$

б

$y$
$x$
$0$

в

$y$
$x$
$0$

Функция является обратимой тогда и только тогда, когда она инъективна, то есть каждому своему значению соответствует только одно значение аргумента. Для графического анализа функции на предмет обратимости используется тест горизонтальной линии: функция является обратимой, если любая горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс ($y = const$), пересекает её график не более чем в одной точке.

Проанализируем каждый из представленных графиков.

а

На графике, представленном на рисунке а, изображена функция, которая не является монотонной. Она имеет точки локального максимума и минимума. Если провести горизонтальную прямую между этими экстремумами, она пересечёт график в трёх точках. Это означает, что одному значению функции $y$ соответствуют три различных значения аргумента $x$. Следовательно, нарушается условие инъективности, и функция не является обратимой.

Ответ: функция не является обратимой.

б

На графике, представленном на рисунке б, функция строго убывает на всей своей области определения, которая состоит из двух интервалов: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Применим тест горизонтальной линии. Любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает график этой функции не более одного раза. Если $c > 0$, прямая пересекает левую ветвь графика в одной точке. Если $c < 0$, прямая пересекает правую ветвь в одной точке. Если $c=0$, пересечений нет. Таким образом, для любого значения $y$ из области значений существует ровно один $x$. Функция инъективна и, следовательно, обратима.

Ответ: функция является обратимой.

в

На графике, представленном на рисунке в, функция имеет горизонтальный участок. На этом отрезке функция принимает одно и то же значение для бесконечного множества значений $x$. Горизонтальная прямая, проходящая через этот участок, будет иметь с графиком бесконечное число общих точек. Это означает, что функция не является инъективной. Следовательно, она не является обратимой.

Ответ: функция не является обратимой.

4.44. Докажите, что функции $y = 4x - 3$ и $y = \frac{x+3}{4}$ являются взаимно обратными.

Чтобы доказать, что функции $y = 4x - 3$ и $y = \frac{x + 3}{4}$ являются взаимно обратными, необходимо показать, что одна из них является обратной для другой. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Нахождение обратной функции

Возьмем первую функцию $y = 4x - 3$. Чтобы найти для нее обратную, необходимо выразить переменную $x$ через $y$:

$y + 3 = 4x$

$x = \frac{y + 3}{4}$

Теперь, согласно определению обратной функции, поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить зависимость $y$ от $x$:

$y = \frac{x + 3}{4}$

Полученная функция в точности совпадает со второй данной функцией. Это доказывает, что данные функции являются взаимно обратными.

Способ 2: Проверка с помощью композиции функций

Две функции, которые мы обозначим как $f(x) = 4x - 3$ и $g(x) = \frac{x + 3}{4}$, являются взаимно обратными, если их композиция является тождественной функцией, то есть $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

1. Проверим первое условие, подставив $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = 4 \cdot g(x) - 3 = 4 \cdot \left( \frac{x + 3}{4} \right) - 3 = (x + 3) - 3 = x$

2. Проверим второе условие, подставив $f(x)$ в $g(x)$:

$g(f(x)) = \frac{f(x) + 3}{4} = \frac{(4x - 3) + 3}{4} = \frac{4x}{4} = x$

Так как оба условия, $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$, выполняются, функции являются взаимно обратными.

Ответ: Функции $y = 4x - 3$ и $y = \frac{x+3}{4}$ являются взаимно обратными, что и требовалось доказать.

4.45. Найдите функцию, обратную данной:

1) $y = 5x - 1;$

2) $y = \frac{1}{x+2};$

3) $y = \frac{1}{3x-1};$

4) $y = \frac{2}{7}x - 4.$

1) Дана функция $y = 5x - 1$. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Или, что то же самое, сразу поменять переменные $x$ и $y$ местами и затем выразить $y$ через $x$.
Меняем переменные местами:
$x = 5y - 1$
Выражаем $y$:
$5y = x + 1$
$y = \frac{x + 1}{5}$
Обратная функция: $y = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}$.
Ответ: $y = \frac{x+1}{5}$

2) Дана функция $y = \frac{1}{x+2}$.
Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = \frac{1}{y+2}$
Область определения исходной функции: $x \neq -2$. Область значений: $y \neq 0$. Для обратной функции область определения будет $x \neq 0$.
Выразим $y$ из уравнения:
$x(y+2) = 1$
$xy + 2x = 1$
$xy = 1 - 2x$
$y = \frac{1 - 2x}{x}$
Обратная функция: $y = \frac{1}{x} - 2$.
Ответ: $y = \frac{1-2x}{x}$

3) Дана функция $y = \frac{1}{3x-1}$.
Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = \frac{1}{3y-1}$
Область определения исходной функции: $x \neq \frac{1}{3}$. Область значений: $y \neq 0$. Следовательно, для обратной функции область определения $x \neq 0$.
Выразим $y$ из уравнения:
$x(3y-1) = 1$
$3xy - x = 1$
$3xy = 1 + x$
$y = \frac{1 + x}{3x}$
Обратная функция: $y = \frac{1}{3x} + \frac{1}{3}$.
Ответ: $y = \frac{1+x}{3x}$

4) Дана функция $y = \frac{2}{7}x - 4$.
Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = \frac{2}{7}y - 4$
Выразим $y$ из этого уравнения:
$x + 4 = \frac{2}{7}y$
Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{2}$:
$y = \frac{7}{2}(x+4)$
$y = \frac{7}{2}x + \frac{7 \cdot 4}{2}$
$y = \frac{7}{2}x + 14$
Ответ: $y = \frac{7}{2}x + 14$