Номер 4.45, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.45, страница 36.

4.45. Найдите функцию, обратную данной:

1) $y = 5x - 1;$

2) $y = \frac{1}{x+2};$

3) $y = \frac{1}{3x-1};$

4) $y = \frac{2}{7}x - 4.$

1) Дана функция $y = 5x - 1$. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Или, что то же самое, сразу поменять переменные $x$ и $y$ местами и затем выразить $y$ через $x$.
Меняем переменные местами:
$x = 5y - 1$
Выражаем $y$:
$5y = x + 1$
$y = \frac{x + 1}{5}$
Обратная функция: $y = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}$.
Ответ: $y = \frac{x+1}{5}$

2) Дана функция $y = \frac{1}{x+2}$.
Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = \frac{1}{y+2}$
Область определения исходной функции: $x \neq -2$. Область значений: $y \neq 0$. Для обратной функции область определения будет $x \neq 0$.
Выразим $y$ из уравнения:
$x(y+2) = 1$
$xy + 2x = 1$
$xy = 1 - 2x$
$y = \frac{1 - 2x}{x}$
Обратная функция: $y = \frac{1}{x} - 2$.
Ответ: $y = \frac{1-2x}{x}$

3) Дана функция $y = \frac{1}{3x-1}$.
Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = \frac{1}{3y-1}$
Область определения исходной функции: $x \neq \frac{1}{3}$. Область значений: $y \neq 0$. Следовательно, для обратной функции область определения $x \neq 0$.
Выразим $y$ из уравнения:
$x(3y-1) = 1$
$3xy - x = 1$
$3xy = 1 + x$
$y = \frac{1 + x}{3x}$
Обратная функция: $y = \frac{1}{3x} + \frac{1}{3}$.
Ответ: $y = \frac{1+x}{3x}$

4) Дана функция $y = \frac{2}{7}x - 4$.
Поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$x = \frac{2}{7}y - 4$
Выразим $y$ из этого уравнения:
$x + 4 = \frac{2}{7}y$
Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{2}$:
$y = \frac{7}{2}(x+4)$
$y = \frac{7}{2}x + \frac{7 \cdot 4}{2}$
$y = \frac{7}{2}x + 14$
Ответ: $y = \frac{7}{2}x + 14$