Номер 5.4, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 5. Логарифмическая функция и её свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 5.4, страница 41.

5.4. Сравните:

1) $\log_{0.9} \sqrt{3}$ и $\log_{0.9} \sqrt{2}$;

2) $\log_7 \frac{2}{3}$ и $\log_7 \frac{1}{2}$;

3) $\log_{\frac{2}{3}} 6,8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 6,9$;

4) $\lg \frac{\pi}{3}$ и $\lg \frac{\pi}{4}$.

1) Для сравнения чисел $\log_{0,9} \sqrt{3}$ и $\log_{0,9} \sqrt{2}$ рассмотрим свойства логарифмической функции $y = \log_a x$.

Основание логарифма $a = 0,9$. Так как $0 < 0,9 < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,9} x$ является убывающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2$ из области определения выполняется неравенство $\log_a x_1 < \log_a x_2$.

Теперь сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{2}$.

Поскольку $3 > 2$, то и $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.

Так как функция убывающая, большему значению аргумента ($\sqrt{3}$) соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{0,9} \sqrt{3} < \log_{0,9} \sqrt{2}$.

Ответ: $\log_{0,9} \sqrt{3} < \log_{0,9} \sqrt{2}$.

2) Сравним числа $\log_7 \frac{2}{3}$ и $\log_7 \frac{1}{2}$.

Основание логарифма $a = 7$. Так как $7 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_7 x$ является возрастающей. Это значит, что для любых $x_1 > x_2$ из области определения выполняется неравенство $\log_a x_1 > \log_a x_2$.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ и $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$.

Так как $4 > 3$, то $\frac{4}{6} > \frac{3}{6}$, а значит $\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция возрастающая, большему значению аргумента ($\frac{2}{3}$) соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\log_7 \frac{2}{3} > \log_7 \frac{1}{2}$.

Ответ: $\log_7 \frac{2}{3} > \log_7 \frac{1}{2}$.

3) Сравним числа $\log_{\frac{2}{3}} 6,8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 6,9$.

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ является убывающей.

Сравним аргументы логарифмов: $6,8$ и $6,9$.

Очевидно, что $6,8 < 6,9$.

Так как функция убывающая, большему значению аргумента ($6,9$) соответствует меньшее значение логарифма. Следовательно, $\log_{\frac{2}{3}} 6,8 > \log_{\frac{2}{3}} 6,9$.

Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} 6,8 > \log_{\frac{2}{3}} 6,9$.

4) Сравним числа $\lg \frac{\pi}{3}$ и $\lg \frac{\pi}{4}$.

Знак $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Основание $a = 10$. Так как $10 > 1$, функция $y = \lg x$ является возрастающей.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{4}$.

Поскольку $\pi$ - положительное число, а $3 < 4$, то $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$. Умножая обе части неравенства на $\pi$, получаем $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4}$.

Так как функция возрастающая, большему значению аргумента ($\frac{\pi}{3}$) соответствует большее значение логарифма. Следовательно, $\lg \frac{\pi}{3} > \lg \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\lg \frac{\pi}{3} > \lg \frac{\pi}{4}$.