Номер 2, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 5. Логарифмическая функция и её свойства. Вопросы к параграфу - номер 2, страница 40.

Учебник.

2. Сформулируйте свойства логарифмической функции.

Решение 2.

Логарифмическая функция — это функция вида $y = \log_a(x)$, где $a$ — основание логарифма, причем $a > 0$ и $a \neq 1$. Основные свойства этой функции следующие:

1. Область определения
Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел. Это связано с тем, что по определению логарифм существует только для положительных чисел.
Математическая запись: $D(f) = (0; +\infty)$.
Ответ: Множество всех положительных действительных чисел, то есть интервал $(0; +\infty)$.

2. Область значений
Областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел. То есть, логарифм может принимать любое значение от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Математическая запись: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
Ответ: Множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции и точка пересечения с осями
Логарифмическая функция обращается в ноль, когда ее аргумент равен единице, то есть $\log_a(1) = 0$ для любого допустимого основания $a$. Это означает, что график любой логарифмической функции всегда пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке с координатами $(1; 0)$. График не пересекает ось ординат ($Oy$).
Ответ: Функция равна нулю при $x=1$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(1; 0)$ и не пересекает ось $Oy$.

4. Монотонность
Характер монотонности функции зависит от значения ее основания $a$:
- Если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: если $x_2 > x_1$, то $\log_a(x_2) > \log_a(x_1)$.
- Если основание $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей на всей области определения. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: если $x_2 > x_1$, то $\log_a(x_2) < \log_a(x_1)$.
Ответ: Функция возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$.

5. Знакопостоянство
Интервалы, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения, также зависят от основания $a$:
- При $a > 1$: функция положительна ($\log_a(x) > 0$) при $x > 1$ и отрицательна ($\log_a(x) < 0$) при $0 < x < 1$.
- При $0 < a < 1$: функция положительна ($\log_a(x) > 0$) при $0 < x < 1$ и отрицательна ($\log_a(x) < 0$) при $x > 1$.
Ответ: При $a > 1$ функция положительна для $x \in (1; +\infty)$ и отрицательна для $x \in (0; 1)$. При $0 < a < 1$ наоборот.

6. Непрерывность и дифференцируемость
Логарифмическая функция является непрерывной и дифференцируемой на всей своей области определения $(0; +\infty)$. Ее производная находится по формуле: $(\log_a(x))' = \frac{1}{x \ln a}$.
Ответ: Функция непрерывна и дифференцируема на интервале $(0; +\infty)$.

7. Асимптоты
График логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту — ось ординат ($Oy$), уравнение которой $x=0$. Поведение функции вблизи асимптоты зависит от основания:
- При $a > 1$, $\lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = -\infty$.
- При $0 < a < 1$, $\lim_{x \to 0^+} \log_a(x) = +\infty$.
Горизонтальных и наклонных асимптот у функции нет.
Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$).

8. Четность и нечетность
Область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной. Она относится к функциям общего вида.
Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

9. Взаимосвязь с показательной функцией
Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ и показательная функция $y = a^x$ с одинаковым основанием $a$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$.
Ответ: Логарифмическая функция является обратной к показательной функции с тем же основанием.