Номер 4.43, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 4. Логарифм и его свойства. Готовимся к изучению новой темы - номер 4.43, страница 36.

Учебник.

4.43. Какая из функций, график которой изображён на рисунке 4.5, является обратимой?

Рис. 4.5

а

$y$
$x$
$0$

б

$y$
$x$
$0$

в

$y$
$x$
$0$

Решение.

Решение 2.

Функция является обратимой тогда и только тогда, когда она инъективна, то есть каждому своему значению соответствует только одно значение аргумента. Для графического анализа функции на предмет обратимости используется тест горизонтальной линии: функция является обратимой, если любая горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс ($y = const$), пересекает её график не более чем в одной точке.

Проанализируем каждый из представленных графиков.

а

На графике, представленном на рисунке а, изображена функция, которая не является монотонной. Она имеет точки локального максимума и минимума. Если провести горизонтальную прямую между этими экстремумами, она пересечёт график в трёх точках. Это означает, что одному значению функции $y$ соответствуют три различных значения аргумента $x$. Следовательно, нарушается условие инъективности, и функция не является обратимой.

Ответ: функция не является обратимой.

б

На графике, представленном на рисунке б, функция строго убывает на всей своей области определения, которая состоит из двух интервалов: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Применим тест горизонтальной линии. Любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает график этой функции не более одного раза. Если $c > 0$, прямая пересекает левую ветвь графика в одной точке. Если $c < 0$, прямая пересекает правую ветвь в одной точке. Если $c=0$, пересечений нет. Таким образом, для любого значения $y$ из области значений существует ровно один $x$. Функция инъективна и, следовательно, обратима.

Ответ: функция является обратимой.

в

На графике, представленном на рисунке в, функция имеет горизонтальный участок. На этом отрезке функция принимает одно и то же значение для бесконечного множества значений $x$. Горизонтальная прямая, проходящая через этот участок, будет иметь с графиком бесконечное число общих точек. Это означает, что функция не является инъективной. Следовательно, она не является обратимой.

Ответ: функция не является обратимой.