Номер 4.36, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.36, страница 35.

4.36. Докажите, что значение выражения $ \log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5}) $ является целым числом.

Чтобы доказать, что значение выражения $\log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5})$ является целым числом, необходимо найти это значение. Обратим внимание на основание логарифма $9-4\sqrt{5}$ и его аргумент $9+4\sqrt{5}$. Эти выражения являются сопряженными. Найдем их произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:$(9-4\sqrt{5})(9+4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 16 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.

Из полученного равенства следует, что аргумент логарифма можно выразить через его основание. Так как их произведение равно 1, они являются взаимно обратными числами:$9+4\sqrt{5} = \frac{1}{9-4\sqrt{5}} = (9-4\sqrt{5})^{-1}$.

Теперь подставим это выражение в исходный логарифм и воспользуемся свойством логарифма $\log_a(a^p) = p$:$\log_{9-4\sqrt{5}}(9+4\sqrt{5}) = \log_{9-4\sqrt{5}}\left((9-4\sqrt{5})^{-1}\right) = -1$.

Значение выражения равно -1. Поскольку -1 является целым числом, утверждение доказано.

Ответ: -1.