Номер 4.34, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.34, страница 35.

4.34. Упростите выражение $\frac{\log_a ab(\log_b a - 1 + \log_a b)}{1 + \log_a^3 b}$.

4.34.

Для упрощения данного выражения выполним ряд преобразований, используя свойства логарифмов. Целесообразно привести все логарифмы к одному основанию, например, к основанию $a$.

Нам понадобятся следующие свойства логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$
• Формула перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$
• Формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Преобразование числителя: $\log_a{ab}(\log_b{a} - 1 + \log_a{b})$.

Сначала упростим первый множитель, используя свойство логарифма произведения:

$\log_a{ab} = \log_a a + \log_a b = 1 + \log_a b$.

Теперь преобразуем второй множитель, приведя все логарифмы к основанию $a$:

$\log_b a - 1 + \log_a b = \frac{1}{\log_a b} - 1 + \log_a b$.

Приведем это выражение к общему знаменателю $\log_a b$:

$\frac{1}{\log_a b} - \frac{\log_a b}{\log_a b} + \frac{(\log_a b)^2}{\log_a b} = \frac{1 - \log_a b + \log_a^2 b}{\log_a b}$.

Таким образом, весь числитель равен произведению преобразованных частей:

$(1 + \log_a b) \cdot \frac{1 - \log_a b + \log_a^2 b}{\log_a b}$.

2. Преобразование знаменателя: $1 + \log_a^3 b$.

Знаменатель представляет собой сумму кубов: $1^3 + (\log_a b)^3$. Применим соответствующую формулу:

$1 + \log_a^3 b = (1 + \log_a b)(1^2 - 1 \cdot \log_a b + (\log_a b)^2) = (1 + \log_a b)(1 - \log_a b + \log_a^2 b)$.

3. Упрощение исходного выражения.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$$ \frac{(1 + \log_a b) \cdot \frac{1 - \log_a b + \log_a^2 b}{\log_a b}}{(1 + \log_a b)(1 - \log_a b + \log_a^2 b)} $$

Перепишем выражение, чтобы было удобнее производить сокращение:

$$ \frac{(1 + \log_a b)(1 - \log_a b + \log_a^2 b)}{\log_a b \cdot (1 + \log_a b)(1 - \log_a b + \log_a^2 b)} $$

Сократим общие множители $(1 + \log_a b)$ и $(1 - \log_a b + \log_a^2 b)$ в числителе и знаменателе. Это действие корректно, так как из области определения исходного выражения следует, что знаменатель $1 + \log_a^3 b \neq 0$, а значит, и каждый из этих множителей не равен нулю.

После сокращения получаем:

$$ \frac{1}{\log_a b} $$

Используя свойство $\frac{1}{\log_c d} = \log_d c$, получаем окончательный результат.

$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$.

Ответ: $\log_b a$.